Eh bien il est vrai que si ta suite vérifie l'hypothèse de la proposition 2 alors elle est strictement décroissante, mais la réciproque est fausse : si tu supposes juste que la suite est strictement décroissante, l'hypothèse de la proposition 2 n'est pas forcément vraie ; ce qui est vrai c'est que Un+1/Un < 1, mais la constante k peut ne pas exister si jamais ce rapport tend vers 1. Et si l'hypothèse de la proposition 2 est fausse, ben tu ne peux pas utiliser la conclusion, donc tu n'as pas prouvé que la série converge et par conséquent la suite peut ne pas tendre vers 0.
Comme on le voit dans le contre-exemple de Thepro (le rapport Un+1/Un tend bien vers 1 dans ce cas).