Vous allez rire, j'ai encore un problème
"Les mesures d'un triangle rectangle sont des entiers a,b,c tels que a<b<c"
1. Démontrez que au moins un des 3 nombres est pair :
>> Facile : On admet dans un premiers temps qu'ils sont tous impairs.
Dans ce cas, a, b, et sont tous congrus à 1 modulo 2.
or c² est congru à un modulo 2 et a²+b² est congru à 0 modulo 2.
Vu que c²=a²+b², on voit bien que c'est impossible !
Donc l'un des nombres est pair.
2. Démontrez que au moins un des trois nombres des divisible par 3 :
>> Bon, alors on pose c non divisible par 3.
Dans ce cas là, c est congru à 1 ou 2 modulo 3.
Si c est congru à 1 modulo 2, c² est congru à 1.
Donc a²+b² est congru à 1 et par suite, l'un des 2 est congru à 0.
De meme, si c est congru à 2, c² est congru à 1 et on retrouve
les resultats précédents.
Donc il y'a toujours au moins un nombre divisible par 3.
Je suis pas trop sur de cette démonstration...
La suivante: (j'y ai bcp de mal)
3. Démontrez que l'un au moins des nombres a,b,c est divisible par 4...
>>> Euhm... Mouais.
Jvoulais partir dans le meme genre de truc que pour 3.
Dans ce cas là, c est congru à 1,2,ou 3.
Si c est congru à 1 ou 3, pas de problème, on a c² congru à 1 et
on retrouve les resultats de la question précédente (en admettant qu'elle soit juste... j'ai quelques raisons de douter...).
c'est à dire que a ou b est divisible par 4.
Or si c est congru à 2, alors c² est congru à 0 modulo 4 (c² divisible par 4)...
Et là : coincé !
a²+b² est divisible par 4 mais rien ne nous prouve que l'un des 2 est divisible par 4.
On peut avoir a congru à 2 et b congru à 2 aussi, aucun des 2
n'est donc divisible par 4 mais on retrouve bien a²+b² divisible par 4... et c n'est pas divisbke par 4...
Donc le contraire de ce qu'on doit démontrer...
Je pensais pas en prenant la spe math que ce serait si dur
Je précise que ce sont des exos d'entrainement que je fais par moi meme, je ne vous demande pas donc les réponses d'un quelquonque DM ...
Edit : En fait ma démonstration 2. est fausse...
Si a² est congru à 0 modulo n, rien ne nous prouve que c'est le cas de a...
J'ai réfléchi à plusieurs moyens de partir mais je trouve pas...
J'essaie avec les congruences mais ca marche pas.
A la rigueur on peut faire dans l'autre sens : si a et b ne sont pas divisibles par 3 azlors a congru a 1 ou 2 modulo 3, de meme pour b...
Mais on arrive alors à des trucs genre :
Si a congru à 1 et b aussi, alors
a²+b² est congru à 2 modulo 3 et donc
c² congru à 2 modulo 3...
Mais pas moyen de se ramener à c...
Re-edit : En fait, si... Si on a a congru à 1 (mod 3) alors a² aussi, de meme pour 0. Mais si a est congru a 2 alors a² est congru à 1. Donc c'est bon