vince Le 08/10/2007 à 00:07 Alors voilà, on demande à un chimiste, un physicien, un informaticien et un mathématicien de montrer que les nombres impairs sont premiers.
Le chimiste commence :
-alors voyons, on a un, trois, cinq, sept... L'expérience montre que les nombres impairs sont premiers !
Ensuite vient le physicien :
-nous disions donc... un, trois, cinq, sept, neuf, onze, treize... Les résultats sont formels, les nombres impairs sont premiers, à epsilon près !
L'informaticien lance son programme :
-un. trois. cinq. sept. neuf. neuf. neuf. neuf. neuf. neuf. neuf. neuf. neuf. neuf. neuf. neuf. neuf. neuf. neuf. neuf. neuf. neuf. neuf. neuf. neuf. neuf. neuf. neuf. neuf. neuf... et conclut que les nombres impairs ont l'air d'être tous premiers
Vient enfin le tour du mathématicien :
-un. c'est pas premier.
cette "blague" racontée par un "ami" (enfin pas vraiment) mathématicien présupose que la définition d'un nombre premier soit du genre "nombre dont la division ne donne un résultat entier que pour deux autres valeurs (ni plus, ni moins) entières)" (généralement les gens normaux simplifient en disant qu'il s'agit des nombres entiers qui ne donnent un résultat entier que pour la division par un ou par eux mêmes)
vince Le 08/10/2007 à 09:00 c'est ce que j'avais écrit...
1 n'a qu'un diviseur => pas premier
La raison profonde de ce choix est que les nombres premiers sont définis de sorte que chaque entier naturel se décompose de manière unique en un produit de nombres premiers. Si 1 était premier, la décomposition ne serait pas unique.
I'm on a boat motherfucker, don't you ever forget
D'un autre côté, dans tout anneau à plusieurs unités, les unités sont aussi essentielles dans la factorisation en nombres premiers, par exemple dans Z, où tu as les unités {-1,1}, un nombre premier n'est défini qu'au signe près (si tu prends 7 ou -7 n'a aucune importance parce que l'idéal généré est le même), et si tu prends un représentant unique pour chaque idéal premier, tu es obligé d'accepter un facteur "unité" (donc 1 ou -1 pour Z) dans les décompositions en nombres premiers. Et je ne parle même pas des anneaux qui contiennent des idéaux qui ne peuvent pas être générés par un seul élément.
La convention de ne pas inclure les unités dans la définition de "premier" est plus une convention qu'autre chose, mais il est clair qu'il y a des raisons pratiques pour ça: si on faisait autrement, on se taperait des "premier sauf 1" à plein d'endroits.
Les éléments premiers ne sont pas définis à une unité près, mais à un élément inversible près, et c'est tout à fait logique que les éléments inversibles ne soient pas premiers. Sinon on se retrouverait avec des corps dont tous les éléments seraient premiers, ce qui est assez peu intéressant.
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Une unité dans un anneau est un élément inversible, c'est la même chose.
Le fait de ne pas inclure les unités dans les éléments premiers n'est absolument pas une convention mais quelque chose de profond et d'essentiel ! Leurs propriétés algébriques sont fondamentalement différentes ; si on pose l'inverse ça casse tout...
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