fractales - Page 2

Effectivement, on n'a même pas besoin que C soit convexe. Comme tu dis, dès que C est non-vide et borné, son complément ne peut pas être convexe (cf. ma démonstration).

./28 > si ton ensemble *est* effectivement simplement connexe ainsi que son complémentaire (je ne connais rien aux fractales, je ne sais pas si c'est vrai) je ne comprends pas pourquoi tu as besoin d'une hypothèse supplémentaire

ah c'est peut-être à cause de l'approximation, le truc pourrait passer entre deux pixels ? en fait ton rectangle est une passoire ?

Rah mais oui

Bon merci Sally tu viens de m'oter une fière chandelle du pied ; il suffit que l'ensemble soit simplement connexe ainsi que son complémentaire (dans le plan compactifié, enfin il faut un point à l'infini quoi, sinon ce complémentaire n'est jamais simplement connexe...)

Kevin Kofler (./24) :
"D'un seul tenant" = "connexe".

Merci !
C’est très exactement ça que je cherchais, oui .

Hippopotame (./27) :

Si cet algorithme marche pour Mandelbrot, Julia et dérivés, c’est parce que pour ces fractales, l’ensemble et son complémentaire (l’intérieur et l’extérieur, mais au sens commun et intuitif du terme, peut-être pas au sens mathématique) sont tous les deux d’un seul tenant

"d'un seul tenant" = "connexe".

Nan ce n'est pas la connexité qui est la bonne raison.
Contre exemple : le disque de centre O, de rayon 2, auquel on a enlevé le disque de centre O, de rayon 1.Autre contre-exemple : le tapis de Sierpinski (qui est connexe!)....

Si si, c’est bien la connexité la bonne raison pour que l’algo’ du rectangle marche, mais attention, il faut que l’ensemble et son complémentaire soient tous les deux connexes (à part le mot « connexe » qui me manquait et la mise en gras, c’est ce que j’ai marqué en ./22 ).
Le tapis de Sierpinski est connexe, mais son complémentaire ne l’est pas l’algo’ des rectangles ne marche pas.
Idem avec le cercle troué (j’avais pensé au même exemple, mais j’ai préféré prendre le tapis qui est un fractale ).

Hippopotame (./33) :
Rah mais oui
Bon merci Sally tu viens de m'oter une fière chandelle du pied ; il suffit que l'ensemble soit simplement connexe ainsi que son complémentaire (dans le plan compactifié, enfin il faut un point à l'infini quoi, sinon ce complémentaire n'est jamais simplement connexe...)

Cf. ./22 et sa ré-écriture ci-dessus avec le bon mot et la mise en gras , et même ./20 (où j’aurais dû parler tout de suite du « un seul tenant » au lieu de sortir des mots dans je ne comprends pas le sens ).


Muni du mot magique qui me manquait, de « connexité », je passe à « connexité par arcs » (rhâ là là, ce que mon ./22 pouvait être maladroit, quand même ) et « connexité simple ».
Ce dernier cas m’interpelle, puisque l’introduction précise : « là où un espace connexe est simplement « d'un seul tenant », un espace simplement connexe est de plus sans « trou » ni « poignée » ».
Ce « sans « trou » ni « poignée » » ne permet-il pas de dire que l’espace considéré et son complémentaire sont tous deux connexes, ou est-ce que cette définition intuitive est trop simplifiée et donc erronée ?

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Léger HS : comme les mmsgs disparaissent au bout de 2 mois, contrairement aux topics, je me permet de recopier ici l’explication qu’un généreux contributeur m’a envoyée en 3 mmsgs (mais il n’osait pas le poster ici, donc je prends sur moi la responsabilité du HS ).


« Cette propriété n’est-elle pas à mettre en relation avec la définition d’ouvert ou de fermé (je ne sais pas vraiment, j’ai du mal à saisir l’essence de ces notions) ? »

Je ne réponds pas dans le topic parce que ce serait un peu hors sujet, mais : les ouverts (et les fermés) sont les éléments de base de la topologie. L'idée est qu'on peut définir ces notions dans un espace métrique (muni d'une distance), ce qui permet d'avoir l'intuition de comment ça marche et à quoi ça sert ; mais après on peut également les définir abstraitement, c'est-à-dire que tu prends un ensemble quelconque, et tu le dotes d'une topologie en disant quelles parties de cet ensemble vont être considérées comme des ouverts. Et si tu as bien chopé les intuitions ça te permet de visualiser les propriétés topologiques sans utiliser la notion de distance, qui est souvent trop concrète pour être pratique.

L'intuition : un ouvert est un ensemble où tout point a de la place pour bouger autour de lui en restant dans l'ensemble ; en termes métriques, pour chaque point de l'ensemble il existe une distance non nulle en deçà de laquelle tous les voisins de ce point sont dans l'ensemble. Autrement dit, aucun point n'est *sur la frontière*, n'est directement en contact avec des points extérieurs à l'ensemble. C'est le cas d'un intervalle ouvert dans |R, par exemple : dans ]0,1[ par exemple, autour du point x je peux me déplacer de min(x/2, (1-x)/2) sans sortir de l'ensemble, et pour tout x dans l'ensemble cette distance est non nulle, donc c'est bien un ensemble ouvert.

Un fermé est le complémentaire d'un ouvert et c'est une notion légèrement moins intuitive de mon point de vue, mais il peut être caractérisé d'une autre façon : il s'agit d'un ensemble tel que toute suite de points de cet ensemble qui converge a sa limite qui appartient à l'ensemble. On peut visualiser cela comme le fait que cet ensemble, lui, *contient* sa frontière.

D'ailleurs la notion de frontière existe topologiquement et aussi métriquement : un point appartient à la frontière d'un ensemble s'il est à distance nulle et de l'ensemble et de son complémentaire (distance à l'ensemble = min des distances à tous ses points).

Topologiquement on définit l'adhérence d'un ensemble comme le plus petit fermé contenant l'ensemble (ça revient à ajouter à l'ensemble les limites de toutes les suites de points pris dans l'ensemble possibles). La frontière est alors définie comme l'ensemble des points qui sont adhérents *à la fois* à l'ensemble et à son complémentaire. On a aussi la notion d'intérieur, qui est le plus grand ouvert contenu dans l'ensemble, et qui est aussi égal à l'ensemble moins tous les points de sa frontière.

On utilise souvent (en fait tout le temps) les ensembles complémentaires en topologie, et toutes les notions de base sont duales : le complémentaire d'un ouvert est un fermé, le complémentaire de l'adhérence c'est l'intérieur du complémentaire, le complémentaire de l'intérieur c'est l'adhérence du complémentaire. (Et on note le complémentaire d'un ensemble avec un petit c en exposant, parce que la barre au-dessus du nom de l'ensemble signifie « adhérence de l'ensemble » ; l'intérieur se note avec un rond au-dessus du nom de l'ensemble).

Avec tout ça tu peux définir diverses notions topologiques. Par exemple un espace connexe : c'est un espace qui n'est pas la réunion de deux ouverts non vides disjoints (ne pas avoir peur de cette définition ). Qu'est-ce que cela signifie ? s'il est la réunion de deux ensembles disjoints, ceux-ci sont complémentaires l'un de l'autre, et comme chacun est ouvert, chaque autre est fermé ; or ils sont disjoints, il n'y a donc aucun point sur la frontière. Donc intuitivement, un espace connexe est un espace que tu ne peux pas diviser en deux sans tracer une frontière qui passe par des points de l'ensemble.

Concrètement pour prouver des connexités on utilise une forme plus pratique de cette définition, cette autre définition est : un espace est connexe si les seules parties de l'espace qui sont à la fois ouvertes et fermées sont l'ensemble vide et l'espace entier. Là ça n'est plus défini négativement donc c'est plus facile à montrer, a priori : typiquement, tu prends une partie ouverte, fermée et non vide et tu montres qu'elle recouvre forcément tout l'espace. Je te laisse en exercice de voir pourquoi cette définition est équivalente à la précédente ^^

./34 > bon déjà si tu prends le plan et que tu fais un trou dedans, ça fait un ensemble connexe mais non simplement connexe, et dont le complémentaire est également connexe, hein ^^
Ensuite j'ai pas d'exemple sous la main là maintenant de découpage du plan en deux connexes par arcs dont aucun n'est simplement connexe (et je ne sais pas/plus s'il en existe), mais on peut faire des découpages très très compliqués
Et encore ensuite, si tu n'es pas dans le cas particulier du plan, ce que tu dis est clairement faux (ie ça ne semble même pas intuitivement vraisemblable... dans l'espace par exemple ^^)

Edit : bon en fait on ne considère pas ici le plan mais la sphère, et le résultat serait : si l'on découpe une sphère en deux parties connexes par arcs, alors elles sont toutes deux simplement connexes. Mais bon je ne sais pas davantage si c'est vrai (par contre c'est faux si on enlève par arcs hein, parce qu'un espace non connexe par arcs ne peut pas être simplement connexe, et il existe des connexes non connexes par arcs dans le plan, et aussi dans la sphère bien sûr)

Sally (./35) :
./34 > bon déjà si tu prends le plan et que tu fais un trou dedans, ça fait un ensemble connexe mais non simplement connexe, et dont le complémentaire est également connexe, hein ^^

Bah oui, mais ai-je dit le contraire ?
J’ai juste dit (et même demandé confirmation, plutôt) : si E est simplement connexe, alors E est connexe et E-barre est connexe.


Par contre, revenons sur l’algorithme des rectangles…

Hippopotame (./14) :
Si tous les points des quatre côtés d'un rectangle sont dans l'ensemble, alors tout l'intérieur du rectangle est dans l'ensemble.

Traduction : l’ensemble est simplement connexe.

Hippopotame (./14) :
Si tous les points des quatre côtés d'un rectangle (pas trop grand le rectangle) sont à l'extérieur de l'ensemble, alors tout l'intérieur du rectangle est à l'extérieur de l'ensemble.

Traduction : le complémentaire de l’ensemble est connexe, mais pas obligatoirement simplement connexe, d’où la nécessité de ne pas prendre un rectangle trop grand pour ne pas englober tout l’ensemble.

Mes traductions sont bonnes ?

Ethaniel (./36) :
J’ai juste dit (et même demandé confirmation, plutôt) : si E est simplement connexe, alors E est connexe et E-barre est connexe.

Non. Par exemple, si tu prends E = une droite, E est simplement connexe mais E-barre pas connexe.

Par contre je pense que E et E barre connexes => E simplement connexe.
Mais attention ça demande vérification et c'est spécifique à la dimension 2.

Si tous les points des quatre côtés d'un rectangle sont dans l'ensemble, alors tout l'intérieur du rectangle est dans l'ensemble.

Traduction : l’ensemble est simplement connexe.

C'est une condition suffisante mais pas nécessaire.
Exemple : la couronne entre les cercles de centre O, de rayon 1 et 1+epsilon, vérifie la propriété des rectangles sans être simplement connexe.

E-complémentaire, pas E-barre, s'il te plaît
bon par contre j'avais sans doute mal lu. Je pense que ce que tu dis est peut-être vrai sur la sphère (edit : pas dans le plan, comme dit hippo), et dans le cas de la sphère j'ai l'impression que la presque réciproque doit être vraie aussi, à savoir que si une partie est connexe par arcs et son complémentaire aussi, elles sont toutes deux simplement connexes, mais je n'en suis pas sûr, je ne l'ai pas démontré.

Première traduction : ben s'il est simplement connexe alors ce que dit Hippo est vrai, et la réciproque (cross : est fausse ^^)

Deuxième traduction : la bonne condition c'est que le complémentaire de l'ensemble soit simplement connexe dans le plan complété par un point à l'infini, qui est topologiquement une sphère. Si c'est le cas et que tous les points d'un rectangle donné sont dans ton complémentaire, alors tu peux dire que soit tout l'intérieur du rectangle est dans le complémentaire (ton lacet est rétractable dans le plan), soit tout l'extérieur l'est (ton lacet est homotope à un point mais en « faisant le tour » par le point à l'infini (imagine que le morceau de plan que tu vois est en fait un morceau d'une très grande sphère, ton lacet encercle l'ensemble mais en passant par l'autre bout de la sphère tu peux le ramener à un point quand même)).
Tu peux facilement éliminer le deuxième cas, soit en ayant un point connu de l'ensemble hors de ton rectangle, soit en sachant que ton rectangle est plus petit que le diamètre de l'ensemble.

La seule connexité ne te mène à rien.

Hippopotame (./37) :
Par contre je pense que E et E barre connexes => E simplement connexe.

Sur la sphère j'ai l'impression, mais dans le plan c'est faux (il suffit que le complémentaire de E soit borné pour que E soit connexe et non simplement connexe, a priori)

oui ok, pour la sphère

Hippopotame (./37) :
Par contre je pense que E et E barre connexes => E simplement connexe.

C'est faux. Prends le complément de E un point...

En revanche, une propriété intéressante est qu'un ensemble E est simplement connexe sur le plan si et seulement si le complément de E sur la sphère (le plan + le point à l'infini) est connexe.

une propriété intéressante est qu'un ensemble E est simplement connexe sur le plan si et seulement si E est connexe par arcs et
le complément de E sur la sphère (le plan + le point à l'infini) est connexe.

C'est exactement ce qu'on a dit dans les trois posts précédents non ? (à part qu'on n'était pas sûrs)

Effectivement, il manquait cette hypothèse, il suffit de prendre un ensemble de 2 points pour voir qu'elle est nécessaire.

Une précision pour Ethaniel : la simple connexité est une propriété intrinsèque, c'est-à-dire que c'est une propriété d'un espace topologique indépendamment du fait que celui-ci soit ou non une partie d'un espace plus grand.
Donc ce que dit Kevin c'est ce que j'avais dit à propos de la sphère (une partie est simplement connexe si et seulement si elle et son complémentaire sont tous les deux connexes par arcs) sauf qu'il précise que E est inclus dans le plan (autrement dit il ne contient pas le point à l'infini). Mais qu'il soit considéré comme partie de la sphère ou comme partie du plan, ça reste le même E, donc s'il est simplement connexe dans un cas il l'est dans l'autre.

Par contre « le complémentaire du Mandelbrot sur le plan » et « le complémentaire du Mandelbrot sur la sphère (plan U {point à l'infini}) » sont deux ensembles différents bien sûr (le premier étant égal au deuxième privé du point à l'infini), c'est pourquoi le second peut être simplement connexe sans que le premier le soit.

(Je dis ça juste pour éviter une erreur de compréhension dans ce qu'on a dit telle que : si je prends le complémentaire du Mandelbrot sur le plan et que je le colle sur la sphère, pouf il devient simplement connexe. Ça c'est absolument impossible.)

Sally (./44) :
Une précision pour Ethaniel : la simple connexité est une propriété intrinsèque, c'est-à-dire que c'est une propriété d'un espace topologique indépendamment du fait que celui-ci soit ou non une partie d'un espace plus grand.

Oui, c’est le fait qu’il puisse être réduit à 1 point par déformation continue (si j’ai bien tout suivi).

Sally (./44) :
Mais qu'il soit considéré comme partie de la sphère ou comme partie du plan, ça reste le même E, donc s'il est simplement connexe dans un cas il l'est dans l'autre.

E reste le même, mais son complémentaire change, lui.
C’est donc sur ce point qu’il faut porter attention quand on cherche les propriétés dudit complémentaire.

Pour l’algorithme des rectangles, on est forcément dans le plan, puisque sur la sphère, on ne peut plus définir l’intérieur et l’extérieur du rectangle.
Donc le complémentaire de Mandelbrot n’est ici que connexe, sans être simplement connexe, d’où la nécessité de ne pas prendre un rectangle trop grand pour définir ce complémentaire, sans quoi on entoure tout l’ensemble, et boum, epic failure.
Notez que, formellement, le coup du rectangle n’est valable qu’en cas de connexité simple…


Edit : -triangle +rectangle

Ethaniel (./45) :
Oui, c’est le fait qu’il puisse être réduit à 1 point par déformation continue (si j’ai bien tout suivi).

Non, non, ça c'est une propriété beaucoup plus forte... simplement connexe c'est que *tout lacet* de l'ensemble peut être réduit à un point par déformation continue dans l'ensemble (homotopie), ça ne veut pas dire que c'est le cas de l'ensemble lui-même.

Ethaniel (./45) :
E reste le même, mais son complémentaire change, lui. C’est donc sur ce point qu’il faut porter attention quand on cherche les propriétés dudit complémentaire.

Voilà, c'est ça.

Ethaniel (./45) :
Pour l’algorithme des rectangles, on est forcément dans le plan, puisque sur la sphère, on ne peut plus définir l’intérieur et l’extérieur du triangle.

Quel triangle, tu veux dire le rectangle ? Relis le ./38, ton rectangle coupe la sphère en deux, et le point à l'infini n'est pas dessus, donc il est dans une des deux moitiés. La moitié où il se trouve, c'est l'extérieur, la moitié où il n'est pas, c'est l'intérieur ; et tu peux facilement montrer que l'une des deux est entièrement hors du Mandelbrot. En prenant le rectangle suffisamment petit tu peux être sûr que cette moitié n'est pas l'extérieur, c'est donc l'intérieur.

Ethaniel (./45) :
Oui, c’est le fait qu’il puisse être réduit à 1 point par déformation continue (si j’ai bien tout suivi).

Non, ça c'est plutôt un espace contractile.

Un espace simplement connexe est un espace où tout lacet peut être réduit à un point par déformation continue.

Un espace contractile est toujours simplement connexe, par contre l'inverse peut être faux (par exemple la sphère).

Ensuite, est ce qu'il existe des contre exemples qui soient des parties du plan, je n'en sais rien...

(cross)

Ensuite, est ce qu'il existe des contre exemples qui soient des parties du plan, je n'en sais rien...

Ouais yen a...

On appelle
A le point (1/Pi,0)
B le point (1/Pi,2)
C le point (-1,2)
D le point (-1,0)
E le point (0,0)

On prend le graphe de sin(1/x), sur ]0,1/Pi[, et on y rajoute les segments [A,B], [BC], [CD], [DE].

L'espace obtenu est simplement connexe mais pas contractile. (par contre il est faiblement contractile, c'est à dire que tous ses groupes d'homotopie sont triviaux ; c'est assez pathologique comme situation...)

Sally (./46) + ./47 + ./48 :

Ethaniel (./45) :
Oui, c’est le fait qu’il puisse être réduit à 1 point par déformation continue (si j’ai bien tout suivi).

Non, non, ça c'est une propriété beaucoup plus forte... simplement connexe c'est que *tout lacet* de l'ensemble peut être réduit à un point par déformation continue dans l'ensemble (homotopie), ça ne veut pas dire que c'est le cas de l'ensemble lui-même.

Ah, oups, ça m’apprendra à lire trop rapidement les définitions ^^"…

Sally (./46) :
Ethaniel (./45) :Pour l’algorithme des rectangles, on est forcément dans le plan, puisque sur la sphère, on ne peut plus définir l’intérieur et l’extérieur du triangle.

Quel triangle, tu veux dire le rectangle ?[/cite]Oups, oui, le rectangle…
Corrigé.

Sally (./46) :
Relis le ./38, ton rectangle coupe la sphère en deux, et le point à l'infini n'est pas dessus, donc il est dans une des deux moitiés. La moitié où il se trouve, c'est l'extérieur, la moitié où il n'est pas, c'est l'intérieur

Mmmh… donc même sur une sphère, on définit un point « infini » ?
Sur une sphère, remplaçons le rectangle par un cercle : s’il est suffisamment petit par rapport à la sphère support, on peut intuitivement définir l’intérieur et l’extérieur.
Mais si ce cercle devient suffisamment grand pour devenir un grand cercle de la sphère (par exemple, l’équateur), comment définir l’intérieur et l’extérieur ?
Choisit-on un point de la sphère faisant office d’infini ? (par exemple, le pôle sud, ce qui défini l’hémisphère nord comme intérieur du cercle équateur, et l’hémisphère sud comme extérieur)
C’est parce que j’ai une vision « pas de point infini sur une sphère » (depuis quand le pôle sud est-il inatteignable ?) que je dis que l’on ne peut plus définir d’intérieur et d’extérieur du rectangle, mais peut-être ce point infini est-il obligatoire…

Non attention, on ne prend pas n'importe quelle sphère en disant que dessus il y a un point à l'infini ^^ (j'étais un peu pressé quand j'ai posté, je n'ai pas donné toutes les précisions nécessaires).

Reprenons.
L'ensemble de Mandelbrot est défini dans C, ensemble des nombres complexes, qui est topologiquement un plan. L'idée est que si j'ajoute à C un point à l'infini, omega, j'obtiens quelque chose qui a la topologie d'une sphère (mais attention : la distance usuelle sur C ne s'étend pas à l'espace "C union {omega}" — une distance ne peut pas être infinie. On peut bien sûr définir une distance sur une sphère pour en faire un espace métrique, mais ça ne sera pas la même).

Maintenant pour l'algorithme, l'hypothèse qu'on utilise est que le complémentaire du Mandelbrot dans C union {omega} est simplement connexe. Ainsi tu traces un rectangle dans C, ce rectangle est aussi une partie de la sphère C union {omega}, et il ne contient pas omega. Comme il coupe la sphère en deux parties (plus lui), omega est sur une de ces deux parties. La connexité simple me dit qu'au moins une des deux parties est complètement hors du Mandelbrot, soit c'est celle qui contient omega, soit c'est celle qui ne le contient pas. Et maintenant je peux retirer le point omega à nouveau, j'ai un plan et je sais que soit l'extérieur soit l'intérieur du rectangle est entièrement hors du Mandelbrot.

Mais sinon l'espace topologique qu'est une sphère n'a bien sûr strictement aucun point plus particulier que les autres (c'est-à-dire que quels que soient les points A et B que tu prends il existe un homéomorphisme de la sphère qui envoie A sur B... je ne sais plus si cette propriété a un nom). C'est juste que je considérais implicitement le cas particulier de la sphère C union {omega} (qui par définition a un point omega )

Note sur « si j'ajoute à C un point à l'infini, omega, j'obtiens quelque chose qui a la topologie d'une sphère ». En fait je veux bien sûr dire que j'obtiens quelque chose à quoi je peux décider de donner la topologie d'une sphère (je pourrais aussi bien décider que je lui donne la topologie d'un plan avec un point extérieur au plan si je voulais, par contre ça servirait à rien). Pourquoi peux-je le faire ? Il suffit de voir qu'un plan est homéomorphe à une sphère privée d'un point, et un homéomorphisme possible est la projection stéréographique :
Tu prends une sphère de rayon 1/2 et de centre (0,0,1/2), et tu lui retires le pôle nord (0,0,1). Ensuite tu projettes tous les autres points de la sphère sur le plan de cote 0 dans la direction donnée par la droite passant par le pôle nord et ce point. Cette projection est un homéomorphisme, c'est-à-dire que c'est une bijection entre la sphère privée du pôle nord et le plan, qu'elle est continue, et que sa réciproque est également continue. (Mais évidemment ce n'est pas une isométrie, d'où ma remarque sur les distances).

Quand tu ajoutes un point à l'infini à l'ensemble des complexes, en gros ça revient à prendre cette projection et décider de la prolonger en définissant une image du pôle nord (elle n'est pas dans le plan, elle est "à l'infini" dans toutes les directions à la fois)

Est ce que l'un d'entre vous pourrait coder ceci :

Un fractal zoomer hyper rapide et hyper fluide. Click gauche, on zoom, click droit, on dézoome. Avec la souris, on peut diriger le zoom. On devra pouvoir choisir les couleurs, le type de fractale etc...

Tout ceci pour win32.
J'ai déjà vu un truc comme ça y'a une 10zaines d'années, mais c'étais sur Amiga 1200, avec des cartes accélératrices et tout.

merci d'avance

aaaaaaaaaaaah merci!!!!

squalyl (./9) :
sinon faut GMP ou MAPM

Heu... MAPM peut être pas. http://www.mpfr.org/mpfr-2.2.0/timings.html

je vois pas trop ce que c'est mpfr. Il lui manque quoi à gmp?

http://www.mpfr.org/faq.html#mpfr_vs_mpf
En gros, GMP MPF c'est + - * / sqrt et c'est tout. MPFR offre plus de fonctions, une sémantique précise et se permet d'être plus rapide.

(ok, tout pigé)

Hippopotame (./14) :

De plus, quand je dis que l'image est fabriquée par bloc, j'ai l'impression que ça avance diagonalement comme ceci, mais pas toujours exactement de la même manière:

Dans le temps j'avais programmé ça sur HP48.

Par exemple, disons qu'on veut dessiner l'ensemble de Mandelbrot (ou un ensemble de Julia connexe):

1) On peut tester (avec une bonne approximation) si un point appartient à l'ensemble : il suffit de voir si la suite z(n+1)=z(n)^2+c diverge (en voyant si son module dépasse une certaine borne B en moins d'un certain nombre N d'itérations).

2) Si tous les points des quatre côtés d'un rectangle sont dans l'ensemble, alors tout l'intérieur du rectangle est dans l'ensemble.Si tous les points des quatre côtés d'un rectangle (pas trop grand le rectangle) sont à l'extérieur de l'ensemble, alors tout l'intérieur du rectangle est à l'extérieur de l'ensemble.

Pour le 2) c'est vrai si tu es capable de tester l'infinité de points que forme le bord du rectangle, mais c'est faux si tu testes juste des pixels isolés, aussi bien pour l'intérieur que pour l'extérieur... (exemple : ton rectangle ne coupe l'ensemble de mandelbrot que sur quelques filaments très fins donc tous les pixels de la bordure sont en dehors de mandelbrot, et pourtant le rectangle peut contenir un énorme îlot)

Ensuite pour le 1) c'est vrai que c'est la méthode la plus simple, mais c'est pas vraiment ce qu'on veut, justement à cause des filaments tous fins : pour qu'on puisse les voir il faut non pas calculer les pixels dont le centre appartient à M, mais plutôt calculer l'adhérence de M dans la topologie induite par les pixels (où un fermé = une union finie de pixels).
Ca correspond à tracer l'ensemble avec un crayon qui a une épaisseur non nulle, c'est assez logique (quand tu traces la courbe y(x) = sin(x) tu prends aussi un crayon avec une épaisseur non nulle, sinon tu ne verrais rien)
En bonus si tu calcules l'adhérence de M dans les pixels, alors ton résultat 2) redevient vrai pour l'extérieur de M (mais pas pour M, pour ça il faut calculer l'intérieur de M dans la topologie induite par les pixels)

En fait y a un bout de temps j'avais fait un programme pour remplacer l'image toute moche utilisée par wikipedia (qui utilise la technique que tu décris, donc on ne voit pas les filaments), mais j'avais pas uploadé le résultat... Comme l'image de wikipedia n'a pas bougé je vais voir ce que je peux faire ^^

Pen^2 (./8) :
ah oui, j'avais totalement oublié, dsl.
Bon je ne connais pas ces programmes, mais

ilos (./1) :
De plus, on ne peut pas zoomer autant qu'on veut: à un moment en zoomant beaucou beaucoup, les paroies sont toutes lisse, mais ça je ne sais pas si c'est la faute à l'optimisation ou à un problème de mémoire(l'histoir que le PC peut pas retenir des nombres avec plus de n chiffres).

C'est un problème de précision des nombres réels : au bout d'un moment, on atteint la limite de précision des nombres flottants.

Si les parois sont lisses c'est peut-être plutôt qu'il n'y a pas assez d'itérations, normalement ça peut se régler dans les options (au prix d'un tracé plus lent). Un problème de précision ce serait des parois pas lisses du tout, je pense ?