methode de position fausse - Page 1

j'ai un probleme avec cette exercice svp....................


ecrire un programme sous matlab permettant de résoudre avec la méthode de la position fausse l'equation f(x)=sinx-0.750 on prendra a=0.800 et b=0.900 .


et merci bien

En fait, on cherche x dans [a,b] vérifiant f(x) = 0 , non ?

Cette méthode est une "amélioration" de la méthode de dichotomie : on a f : [a,b] -> R avec f(a)f(b)=0. Donc il existe x₀ dans [a,b] tel que f(x₀)=0.
Soit c dans [a,b]. Alors f s'annule sur [a,c] ou sur [c,b].
Si f s'annule sur [a,c], on recommence avec [a,c] à la place de [a,b].
Sinon f s'annule sur [c,b] et on recommence avec [c,b] à la place de [a,b].
Pour la méthode de dichotomie, on prend c = (a+b)/2.
Pour la méthode de la fausse position, on prend c = abscisse du point d'intersection de la droite qui joint les points (a,f(a)) et (b,f(b)) avec l'axe des abscisses.
On a donc un algo du type :
entrées : a,b,f, précision voulue eps
sortie : intervalle [a, b] de longueur < eps qui contient x₀.
tant que b-a > eps
c = abscisse du point d'intersection de la droite qui joint les points (a,f(a)) et (b,f(b)) avec l'axe des abscisses
si f(a)f(c) <= 0
alors b = c
sinon a = c
fin si
fin tant que
rendre a,b

Ensuite il faut calculer explicitement l'expression de c puis traduire en language Matlab : une petite bouble while avec un if then else à l'intérieur...

aure (./2) :
Cette méthode est une "amélioration" de la méthode de dichotomie

Pas tout à fait...
L'avantage est que ça converge beaucoup plus vite si ça converge. L'inconvénient est que la convergence n'est pas garantie, alors que pour la dichotomie, elle l'est. Sur certaines fonctions (par exemple arctan), si on est suffisamment loin de la solution, ça va diverger, tandis que la dichotomie converge toujours.

Cette méthode est aussi appelée "méthode de la sécante" ("secant method"), ce qui AMHA est un nom mieux trouvé, le terme "méthode de position fausse" est historique (une traduction du nom latin "regula falsi" utilisé dans le passé lointain) et plutôt mal tombé. La droite ((a,f(a)) (b,f(b))) qu'on trace à chaque étape est la sécante, et on prend l'intersection de cette sécante avec l'axe des abscisses.