Divisibilité interdite (Affaire de logique). - Page 1

Paru dans "Le Monde" daté du mardi 12 août, le problème 338 d'Elisabeth Busser et de Gilles Cohen (Pôle2003) et destiné aux forts en neurones des maths :

On fait une sélection de nombres pris parmi les entiers de 1 à 999.
Combien sont-ils au maximum, sachant qu'aucun d'entre eux ne divise un des autres entiers de la sélection ?

Voilà, à vos circuits bio-électriques les fortifiés du cortex, soluce ici (si tout va bien ) la semaine prochaine.

Envore une fois, tout dépend de la façon dont on comprend la question.
Si je veux être simple, je dirai qu'ils sont zéro (la tête à toto).
Puisque chacun des nombre de 1 à 999 se divise lui même avec 1 pour résultat.

PAr contr si le résultat de la divison est un entier supérieur ou égal à 2, le résultat doit être different.

J'ai pas encore commencé à chercher donc il en manque encore certainement, mais j'en suis à 500 nombres.

chris.

Je dirais 167. Ca faisait longtemps. J'ai du faire un petit programme

Prend tout les nombres de 500 à 999, il me semble qu'il vérifie la question de l'énoncé?

chris.

[cowboy]N'as tu pas l'énoncé exact Av, parcequ'en maths, un mot pour un autre,une virgule déplacée et ca peut changer tout le sens de l'énoncé ? [/cowboy]

Ayant mal compris l'énoncé, je pensais qu'on parlait des nombre premiers. Mais après avoir réfléchi, je pense que Chris a raison. C'est bien 500, et la sélection correpond bien de 999 à 500.
Bravo Chris.

Fred.

c trop facile ,c suspect.
Si encore c'etait la plus longue liste de nombres premiers entre eux de 1 à 1000, là je comprendrais l'interet,mais là?!

oui, il y a anguille sous roche, soit je suis un crétin, soit Avance ne nous a pas donné toutes les billes.

chris.

J'ai donné toutes les billes ! Je fouille mes poches et je n'en trouve pas une de plus !
Soluce lundi après midi !

Alors c'est l'hypothèse 1: je suis un crétin.

chris.

Ca y est vous m'avez mis le doute....

Maintenant, j'en ai 0....

La dernière fois c'était avec l'aigle....

Fulcanelli :
[cowboy]N'as tu pas l'énoncé exact Av, parcequ'en maths, un mot pour un autre,une virgule déplacée et ca peut changer tout le sens de l'énoncé ? [/cowboy]

Ful, chaque fois que je recopie un pb, je revérifie minutieusement l'énoncé, à la lettre, à la virgule, au caractère près, majuscules y compris car j'ai bien conscience qu'un énoncé éroné peut faire devenir fou les matheux et logiciens que vous êtes !

Et voilà la soluce :

"La sélection compte au maximum 500 nombres.
D'une part, on voit qu'en sélectionnant les 500 entiers de 500 à 599 aucun d'entre eux ne divise un des autres, puisque le premier multiple de chacun de ces nombres (en dehors de lui-même) est strictement supérieur à 999.
D'autre part, quelle que soit la sélection, on constate que, pour chaque entier N strictement inférieur à 500 de la sélection, il existe un nombre M_N parmi 2N, 4N, 8N, etc., compris entre 500 et 999, qui ne fait donc pas partie de la sélection. Par ailleurs, si N et N' inférieurs à 500 sont des nombres différents de la sélection (aucun des deux n'est un multiple de l'autre), M_N et M_N' sont distincts.
Cela limite le nombre des entiers de la sélection au nombre des entiers supérieurs ou égaux à 500, c'est-à-dire à 500 nombres".

Evident non ?

Bravo à Chris et Gaïa qui ont pu se concentrer malgré la chaleur !

Avance :
Et voilà la soluce :
Bravo à Chris et Gaïa qui ont pu se concentrer malgré la chaleur !

Oh c'est surtout Chris a qui il faut dire bravo, c'est en voyant son post que j'ai mieux regardé l'énoncé.

Fred.

Une question subsidiaire: Combien y a-t-il de manière possible de trouver une série d'entier croissante vérifiant les conditions de l'énoncés?

chris.

La corde
Elle est où, la corde ?

Pour éviter la corde à denpher la réponse est:

sum(1,166,166!/[(166-k)!k!]

ou encore la somme des C(k,166) de k=1 à k=166

Chris.

Venceslas :
Pour éviter la corde à denpher la réponse est:

sum(1,166,166!/[(166-k)!k!]

ou encore la somme des C(k,166) de k=1 à k=166
Chris.

Tu veux vraiment la garder cette corde

D'une part, on voit qu'en sélectionnant les 500 entiers de 500 à 5
99

C'est 999 plutôt...

Combien y a-t-il de manière possible de trouver une série d'entier croissante vérifiant les conditions de l'énoncés ?

Je n'ai rien compris, et la réponse n'éclaire en rien.

oui JM, c'est bien les 500 entiers de 500 à999 ! Sorry, c'est vrai que les fontes sont minuscules, mais ce n'est pas une raison pour me planter dans la recopie. Heureusement c'était la soluce !

Et bien en présentant la question d'une autre façon:

Combien y-a-t'il de solutions possibles à 500 nombres?

Solution 1 : 500-501.....-998-999
Solution 2 : 499-500-501.....996-997-999

A vrai dire j'ai aussi un peu la flemme de l'écrire car elle n'a pas l'air d'intérresser grand monde. De plus, je ne doute pas que tu n'ais aucun mal à la trouver maintenant que tu as compris l'énoncé.

chris.

Je comprends la réponse à la première question, jusque là ça va.
Mais Chris, là tu deviens carrément obscur.
Ne t'evertues pas à expliquer, je crois que plus tu en dis, moins je comprends.
Sinon, à part cela, vous avez vu comment il sont prêts à se battre pour la corde au stade de France (elle était facile). Mais le spectacle est de toute beauté.

Ne t'evertues pas à expliquer, je crois que plus tu en dis, moins je comprends.

ça fait plaisir de se sentir compris