Dérivée d'une fonction de plusieurs variables. - Page 1

avec une fonction f : (x₁,x₂,...x_n) |--> f(x₁,x₂,...x_n), ne peut-on calculer que des dérivée partielles ? Si une "dérivée totale" existe, quelle est-elle ?

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Une dérivée "totale", ça n'existe pas, à la place il y a la notion de différentielle.

Titane
: Si une "dérivée totale" existe, quelle est-elle ?

Une matrice contenant toutes les dérivées partielles (dans le bon ordre ). Cette matrice est une application linéaire approximant f(x)-f(x₀). En rajoutant le vecteur constant f(x₀), tu as une application affine approximant ta fonction autour de x₀ (développement limité d'ordre 1 à plusieurs dimensions).

Oui mais non. Il n'y a pas bijection entre ta "dérivée totale" (qui est en réalité l'application différentielle associée à f) et la fonction de départ à une constante près.

Hmmm... Interessant comme question: Je sais qu'il y a des matrices qui n'ont pas de "primitive" (je veux dire par là: qui ne sont pas l'application différentielle d'une fonction, par exemple: [df/dx df/dy]=[y 0]: dans df/dy, où est passé le terme y*x qui apparaît dans df/dx?), mais y-a-t'il des matrices ayant plusieurs "primitives" qui se différencient d'autre chose qu'une constante? Je dirais "non", mais je ne suis pas sûr.

des matrices ayant plusieurs "primitives" qui se différencient d'autre chose qu'une constante? Je dirais "non", mais je ne suis pas sûr.

Autrement dit, une fonction de jacobien nul non constante? Si f(x)!=f(y), il suffit de prendre phi : t -> f(x+t*(y-x)), fonction qui est évidemment constante (de dérivée nulle) -> contradiction.

D'accord, j'ai compris.

BiHi> C'est vilain ça, je m'avance c'est tout.

C'est plutôt crade de parler de matrices à tout va, quand on peut rester dans des applications linéaires bien propettes...



Bref une fonction f : E -> F où E est un espace vectoriel (par exemple R² pour une fonction à deux variables) est différentiable au point x s'il existe une application linéaire Dfx : E -> F telle que

f(x+h) = f(x) + Dfx(h) + o(h) quand h tend vers 0

Dfx est appelée différentielle de f en x.


L'application Df : E -> L(E,F) qui à x associe Dfx est la différentielle de f.

Au fait, encore faut-il savoir ce qu'est o(h) (c'est une fonction t -> u(t) à valeurs dans F tel que limite(t->h, norme(u(t))/norme(h)) = 0 )

moui enfin ça me semble une notion nettement plus facile que celle de différentielle..

Tout dépend de la généralité voulue pour la notion de différentielle. Si on est dans |Rⁿ et si toutes les dérivées partielles sont continues, il suffit d'en faire une matrice et on a sa différentielle totale. Si on veut travailler sur des dérivées non-continues et/ou des espaces plus généraux, alors oui, il faut obligatoirement passer par la définition que tu as donnée (qui, soit dit en passant, n'est pas si compliquée que ça non plus à mon avis).

hippo> je ne dis pas que la notion est difficile, je dis juste que pour comprendre la définition d'une différentielle ça peut être utile d'avoir la définition de o(h)

Kevin> tu n'as pas absolument tort dans la mesure où la question originale était posée en fixant la base canonique de l'espace de départ, mais tu ne sais rien sur l'espace d'arrivée (dans lequel, pour passer aux matrices, il faudrait choisir une base... c'est ce que hippo te reprochait, je pense)

Je dirais plutôt "il suffit d'utiliser la différentielle". La définition de la différentielle comme application linéaire est plus simple, même dans un cas comme R^n. Ecrire une matrice, ça suppose de choisir une base, donc ce n'est pas canonique du tout (même si on prend la base canonique de R^n, puisqu'on fixe l'origine "génétique" de l'espace vectoriel et qu'on s'empêche d'y voir un simple espace abstrait de dimension n). Et bien sûr les notations sont beaucoup plus lourdes.

Donc je défends que la définition la plus naturelle est dans tous les cas celle de l'application linéaire abstraite. Enfin ce ne sont que mes goûts personnels

(Post croisé)
Bien joué, Pollux, je lui reproche de choisir une base


Et je rajouterais que la définition de la matrice est nettement plus compliquée que celle de l'application linéaire.

Si df_i/dx_j est continue pour tous i,j, alors la fonction est dérivable (de manière totale) et A=(a_ij) avec a_ij=df_i/dx_j pour tous i,j est la matrice différentielle totale par rapport à la base canonique. Pas très compliqué à mon avis.

Mais la définition générale n'est pas très compliquée non plus. Elle est nettement moins utile pour faire des calculs dessus, mais c'est un autre discours.

Pas très compliqué, mais nettement plus compliqué quand même.


Et la définition générale est très utile pour les calculs généraux : par exemple, pour la formule de composition :
g o f (x+h) = g ( f(x) + Df_x(h) + o(h) ) = g o f (x) + Dg_f(x) ( Df_x (h) ) + o(h)
Donc Dgof_x = Dg_f(x) o Df_x


En revanche, elle est moins pratique pour les calculs de dérivée partielles, puisque ce ne sont pas des quantités canoniques...

Elle est aussi moins utile si tu veux calculer la différentielle totale d'une fonction. Tu es bien obligé de passer par les dérivées partielles si tu veux le faire rapidement.

Mais pour qu'on se comprenne bien: je ne conteste pas du tout l'utilité de la définition générale. Je dis juste que le théorème qui met ça en relation avec les dérivées partielles (./16) est lui aussi très utile.

Ca dépend ce que tu appelles calculer.

Si par exemple tu prends R² identifié à C, et f(x)=x²
Alors f(x+h) = x² + 2xh + h²
Donc Dfx : u -> 2xu
Très simple.

=> Pour des calculs de choses canoniques et joli, c'est plus simple. C'est moins simple quand il s'agit de calculs d'analyse appliquée, avec des fonctions arbitraires

HIPPOPOTAME :
Si par exemple tu prends R² identifié à C, et f(x)=x²
Alors f(x+h) = x² + 2xh + h²
Donc Dfx : u -> 2xu Très simple.

Alors là, on est dans un cas encore plus particulier que le mien, parce que:
1. ça ne marche qu'avec |R². Tu ne pourras pas identifier par exemple |R³ avec (C.
2. cette méthode suppose que la fonction soit dérivable dans (C dans le sens de la différentielle complexe (c'est-à-dire holomorphe, c'est la même chose ici parce qu'on est sur l'ensemble entier, qui est évidemment un ouvert), sinon tu ne pourras pas dériver sur (C de cette manière. EDIT: Au fait si, on pourrait rajouter le terme df/dz* h* (l'étoile dénotant le conjugué) à ton DL. Mais du coup, on n'a plus gagné grand chose par rapport aux dérivées partielles. Et il reste le 1.

On se sert énormément de R² quand même, c'est pas si particulier que ça.
Et |R^4 sera identifiable à H ?

Bref, j'ai compris je cherche pas à tergiverser maintenant moi

1. ça ne marche qu'avec |R². Tu ne pourras pas identifier par exemple |R³ avec (C.

Cet exemple précis ne marche qu'avec R². Mais on peut trouver d'autres exemples où R^n est une algèbre, ou bien a telle ou telle structure algébrique, ce qui permet de définir des fonctions avec ces structures.
Exemple :
R^3, R^7 : partie imaginaire du corps des quaternions/octonions ; muni du produit vectoriel.
R^4, R^8 : corps des quaternions/octonions
R^n = R[X]/(P) où P est un polynôme de degré n
etc....

2. cette méthode suppose que la fonction soit dérivable dans (C dans le sens de la différentielle complexe (c'est-à-dire holomorphe, c'est la même chose ici parce qu'on est sur l'ensemble entier, qui est évidemment un ouvert), sinon tu ne pourras pas dériver sur (C de cette manière. EDIT: Au fait si, on pourrait rajouter le terme df/dz* h* (l'étoile dénotant le conjugué) à ton DL. Mais du coup, on n'a plus gagné grand chose par rapport aux dérivées partielles.

Non, je parlais bien de différentielle réelle, même si la fonction est définie à l'aide de la structure complexe...

Autre exemple : je prends toujours l'espace R², et f(x) = x * conj(x) = |x|²
Alors f(x+h) = x*conj(x) + x*conj(h) + conj(x)*h + h*conj(h)

=> Dfx : u -> u*conj(x) + x*conj(u) = Re(2*u*conj(x))

De nos jours, on dit plutôt pseudo-corps/corps que corps/corps commutatif...

Et effectivement la structure d'algèbre de (C se généralise à R[X]/(P.R[X]) comme le dit Hippo, donc on peut avoir l'exemple de x->x^2 dans ce genre d'espaces (dimension pas nécessairement = 2).

On entend aussi beaucoup "corps gauche" quand le corps n'est pas commutatif.

Pollux > mais « Tout corps fini est commutatif » c'est quand même plus joli que « tout pseudo-corps fini est un corps »...

Sally> ben oui mais rajouter "commutatif" à chaque fois qd on parle d'un corps, c un peu relou... Et puis "il n'y a pas de corps non commutatif fini", ça m'a l'air tolérable comme formulation, non?

J'aime moins :\... et puis rajouter « pseudo » à chaque fois qu'on parle du corps des quaternions, c'et pas un peu relou ?

Pff, tu peux toujours dire que "corps des quaternions" = "pseudo-corps des quaternions"