Les souites =/ - Page 1

Ca paraît over-con, mais je galère ....

Soit S = 7 + 77 + 777 + ... + 7...7 (le dernier est composé de n chiffres 7)
Calculer cette somme.

J'ai commencé comme ça :
Soit (Un) cette suite.
U0 = 7
Un = 10*Un-1 +7

Soit Vn+1 = 10*Vn
Wn+1 = Wn + 7

Et après, je vois pas ....

Des idées ?

J'suis en 1ère S, et on n'a vu que les formules pour les suites géométriques et arithmétiques :/

Ben tu as déjà fait 90% du boulot

L'idée est bien de décomposer la suite Un en la somme d'une suite géométrique (Vn) et d'une suite arithmétique (Wn). Tu n'as plus qu'à calculer la somme pour Vn et Wn avec les formules de ton cours, et additionner les deux

Additioner les deux sommes ? Ca paraît un peu simple Oo

Additionner bêtement les 2 sommes V et W ne va pas marcher, tu vas te retrouver avec 7 + 77 + 714 + 7021 + 70028 + ... au lieu de 7 + 77 + 777 + 7777 + 77777 + ...

1. Jette tes suites V et W qui ne servent à rien.
2. 7, 77, 777, ... est une somme géométrique. C'est la somme de la suite géométrique 7, 70, 700, ... Donc remplace 7, 77, 777 par la formule de cette somme.
3. Factorise le facteur commun.
4. Vois apparaître une nouvelle somme géométrique. Repasse par la même formule.

Entre temps, j'ai trouvé une suite suite géométrique qui se base dessus, telle que Vn = 2Un, ça me donne une Vn = 7*2^n.

Ca peut m'être utile ?

Kevin Kofler (./4) :
Additionner bêtement les 2 sommes V et W ne va pas marcher, tu vas te retrouver avec 7 + 77 + 714 + 7021 + 70028 + ... au lieu de 7 + 77 + 777 + 7777 + 77777 + ...

Oups... désolé, faut plus que j'essaie de faire des maths le soir, moi

FireHunter (./6) :
Entre temps, j'ai trouvé une suite suite géométrique qui se base dessus, telle que Vn = 2Un, ça me donne une Vn = 7*2^n.

Ca peut m'être utile ?

Non, Vn n'est pas plus simple que Un, tu ne peux rien faire avec Vn que tu ne peux pas faire avec Un.

Suis mes 4 étapes. (Et indice, à l'étape 4, tu n'auras pas juste une somme géométrique, tu auras une somme géométrique + autre chose.)

S est la somme de la somme d'une suite géométrique. Donc il faut appliquer la formule pour la somme de la suite géométrique à l'intérieur, décomposer le résultat en le terme d'une suite géométrique + une constante, puis additionner en appliquant encore une fois la formule pour la somme d'une suite géométrique (et en multipliant la constante par n tout simplement).

Peut-être que tu comprends mieux sous cette notation:
S = U1 + ... + Un
où pour tout i, Ui = 7 × 10⁰ + 7 × 10¹ + ... + 7 × 10^i-1.

Donc commence par calculer Ui (c'est la somme de Vj = 7 × 10^j, ou encore 7 fois la somme de Wj = 10^j).

Merci, j'ai trouvé, et c'est juste, j'ai testé la formule avec 10 valeurs de n. Merci beaucoup !