continuïté - Page 1

voilà, petite confusion dans les neurones ....

soit f une application,
je crois qu'on a : f dérivable sur [a,b] => f continue sur [a,b] => f définie sur [a,b]

et j'arrive pas à me faire à l'idée que f définie sur [a,b] => f continue sur [a,b] est faux.
Si quelqu'un peut m'aider ...

merci.

exemple:
f:[-20,20]
x->E(x)
avec E partie entière
elle est bien définie sur l'intervalle mais non continue.

Il y a même: fR->|R, x|->1 si x rationnel, 0 si x irrationnel. C'est défini sur |R entier, mais continu nulle part (à condition d'utiiliser la topologie euclidienne, évidemment ; je rajoute ça pour éviter que les élèves d'écoles supérieures ne viennent me gueuler par dessus pour me dire cela ).

J'avais envie de balancer un truc continu sur aucun intervalle du même genre, mais le auvre quand même...

ximoon> Pour démontrer la non continuïté de ton exemple, tu passes par la dérivabilité ou pas ?

Kevin> On peut expliquer ce résultat par le fait que Q est dense dans R , non ?

Pour mon exemple, pas besoin de la dérivabilité: pour chaque entier la limite à droite n'est pas la même que la limite à gauche... pas de continuité.

Pour celui de Kevin, un théorème dit qu'entre deux rationnels il y a une infinité d'irrationnels, et un autre qu'entre deux irrationnels il y a une infinité de rationnels

Ximoon> C'est un peu ce que je disais quand j'ai écrit que Q était dense dans R : entre deux réels il existe toujours un rationel (il existe même une suite de rationel donc une infinité).

Oui, mais je préfères utiliser des termes moins techniques et plus clairs pour êre sûr de ne pas faire d'erreurs

maxef
a écrit : ximoon> Pour démontrer la non continuïté de ton exemple, tu passes par la dérivabilité ou pas ?

Ça ne marcherait pas. dérivabilité => continuité, mais pas l'inverse.

Kevin> On peut expliquer ce résultat par le fait que Q est dense dans R , non ?

Oui.

Kevin Kofler a écrit :
Ça ne marcherait pas. dérivabilité => continuité, mais pas l'inverse.

et si tu raisonnes par contraposée :
(non continuité) => (non dérivabilité) ?

maxef a écrit :
et si tu raisonnes par contraposée : (non continuité) => (non dérivabilité) ?

Impossible. (non continuité) => (non dérivabilité), mais pas (non dérivabilité) => (non continuité), ce qui serait équivalent à continuité => dérivabilité, ce qui est faux.

ha ! aussi ... quand tu dis la topologie euclidienne ... quoi c'est ça ... ça me dit quelquechose ... est-ce que tu peux m'expliquer un peu ?

ben c quand mm pas dur d'imaginer une fonction qui est définie sur un ségement et pourtant qui n'y est pas continue ...
exemple:

f définie sur [-5;5]
f: x |-> x^2 si x!=0
f(0) = 10000000000

je crois que c pas trop dur à voir, nan ?

Dis-moi ! ... si c'est pour répondre 30 ans en retard, donner un exemple à chier et en plus essayer de te foutre de ma gueule ... tu aurais mieux fait de ne rien répondre ...

nEUrOne a écrit :
f définie sur [-5;5]
f: x |-> x^2 si x!=0
f(0) = 10000000000
je crois que c pas trop dur à voir, nan ?

Moi, je ne vois pas.
Pourquoi f(0)=10000000000 ?

Pour pas qu'elle soit continue, c'est tout! C'est un contre exemple simple et bien visible (fais le graphe ) !

Comment on définit une fonction, pour quelle remplisse ces caractéristiques, sur la TI ?
Et en fait, f(0) pourrait être égal à n'importe quoi, pas forcément à 10000000000 (merci maxef).
Une fonction continue, ça veut dire qu'on peut la tracer sans lever le crayon, c'est ça ?

On peut dire ça.
Sur la ti tu utilises des when.
Je crois que ça donne y1(x)=when(x=0,1,x^2)
J'ai mis f(0)=1 au lieu de 10000...00.

jackiechan
a écrit : Et en fait, f(0) pourrait être égal à n'importe quoi, pas forcément à 10000000000 (merci maxef).

Sauf à 0 si tu veux que ce ne soit pas continu.

Une fonction continue, ça veut dire qu'on peut la tracer sans lever le crayon, c'est ça ?

Oui (pour une fonction de |R dans |R, et en utilisant la topologie euclidienne).

jackiechan
a écrit : Une fonction continue, ça veut dire qu'on peut la tracer sans lever le crayon, c'est ça ?

ah ! j'aime bien ce genre de définitions, simple à piger, le genre de trucs qui sortira jamais de la bouche d'un prof. parce qu'ils sont trop vaniteux ...

Aux USA, ils travaillent presque toujours avec des "définitions" comme ça, même à l'université.

J'ai dit ça parce que je n'arrivais pas à trouver de définition plus "normale".
D'ailleurs, si vous en avez une, je la veux bien.
Moi, je préfère ce genre de définition (les définitions "normales") parce qu'au moins, on sait exactement ce que veut dire le terme défini.

post #21 >
post #22 > ok mais qd on découvre une nouvelle notion, vaut mieux passer d'abord par des définitions plus intuitives et simples.

jackiechan a écrit :
J'ai dit ça parce que je n'arrivais pas à trouver de définition plus "normale". D'ailleurs, si vous en avez une, je la veux bien.

Bon, tout d'abord on va se restreindre aux fonctions définies dans un sous-ensemble D de |R et à valeurs dans |R, et à la topologie euclidienne (si on est exacts, soyons-le jusqu'au bout ). C'est plus compliqué si on généralise. Dans ces conditions:
f continue <=> pour tout point x de D, lim(y->x, y dans D) f(y) = f(x)
où la limite est définie de la manière suivante:
lim(y->x) f(y)=L <=> pour tout a>0, il existe d>0 tel que |f(y)-L|<a pour tout y de ]x-d,x+d[
et plus généralement:
lim(y->x, y dans D) f(y)=L <=> pour tout a>0, il existe d>0 tel que |f(y)-L|<a pour tout y de l'intersection de ]x-d,x+d[ avec D
On peut donc dire en une seule étape (si tu préfères cela):
f continue <=> pour tout point x de D, et pour tout a>0, il existe d>0 tel que |f(y)-f(x)|<a pour tout y de l'intersection de ]x-d,x+d[ avec D
On a d'ailleurs l'habitude d'utiliser epsilon là où j'ai mis a et delta là ou j'ai mis d, mais je préfère les lettres latines. Surtout pour taper à l'ordinateur.

mais tu parles mm pas de la petite boule ouverte

Arf...
Ici, on est dans la topologie sur D dérivée de la topologie euclidienne sur |R. La petite boule ouverte avec epsilon=d est donc tout simplement l'intersection de ]x-d,x+d[ avec D.

Mais ce n'est pas la peine d'abuser de termes techniques quand on peut dire ça directement. (J'ai bien dit que c'est plus compliqué si on travaille sur d'autres ensembles que sur |R.)

Ici, je parlais de fonctions réelles à une seule variable.

f continue <=> l'image réciproque par f de tout ouvert est un ouvert.

maxef
a écrit : Ici, je parlais de fonctions réelles à une seule variable.

Oui, et c'est pour ce cas particuler que s'appliquent mes définitions du message #24.

HIPPOPOTAME
a écrit : f continue <=> l'image réciproque par f de tout ouvert est un ouvert.

Je sais ça. Mais il reste à définir ce qu'est un ouvert. Donc il faut définir la topologie euclidienne sur |R, la topologie sur D qui en résulte, ... Il est beaucoup plus simple de travailler avec les bases des voisinages comme on a l'habitude de le faire en travaillant sur |R.