ABC est un triangle. C1 est le cercle circonscrit au triangle ABC;son centre est O et son rayon R. C2 est le cercle inscrit dans le triangle ABC;son centre est I et son rayon r.
A' est le point d'intersection de (AI) avec C1.
1. Démontrer que OI² - R² = IA (vecteur) scalaire IA' (vecteur).
2. Calculer IA en fonction de r et de Â/2.
3. a) Calculer l'angle A'IB et l'angle A'BI en fonction de Â/2 et ^B/2.
b) En déduire que le triangle BA'I est isocèle en A'.
c) Exprimer BA' en fonction de R etde Â/2.
d) En déduire l'expression de IA' en fonction de R et de Â/2.
e) Démontrer que OI² = R² - 2rR
Et le reste, c'est de la trigonométrie. Grâce aux cercles, tu sais de certains triangles qu'ils sont rectangles. Et il y a aussi la relation d'Al-Kashi, c'est-à-dire le théorème de Pythagore généralisé.
En fait réellement il n'y à que la question 1) que j'arrive pas et là, même avec la relation de Chasles je vois pas comment. Pour le reste merci Kevin mais bon c'était déjà ok. Enfin si qqun a une idée pour le 1) parce que la j'ai essayé avec tous les points et ...
A+
[nosmile]OI²-R²=(OI->)²-(OA->)²=(OI-> + OA->).(OI-> - OA->)=(OI-> + OA->).(AI->)=-(OI-> + OA->).(IA->)=(IO-> + AO->).(IA->)=(IA-> + AO-> + AO->).(IA->)=(IA-> + 2 AO->).(IA->)=(IA-> + AA'->).(IA->)=(IA'->).(IA->)=(IA->).(IA'->)
Et on a (2 AO->).(IA->)=(AA'->).(IA->) parce que O est le centre du cercle circonscrit a AA'B et donc sur la médiatrice de [AA'].
Mais rédige ça un peu mieux que moi. J'ai juste donné l'idée du calcul, il faut aussi justifier correctement chaque étape.
Merci Kevin, tu m'as ouvert les yeux lol parce que là, je faisais un blocage. Merci
En général, si tu te retrouves devant une différence de carrés de longueurs et que tu veux en faire un produit scalaire, la première chose à faire est toujours d'appliquer l'identité remarquable. Les autres identités remarquables ont d'ailleurs aussi leur équivalent en termes de produits scalaires.
