comment on demontre le principe du bon ordre a partir du lemme de zorn paske jai un papier ou ya la demonstration axiome du choix implique lemme de zorn , principe du bon ordre implque axiome du choix cest facile mais pour le troisieme point le papier dit que cest facile mais jai pas didee.....
et pis ya quoi comme autre truc marrant equivalent a laxiome du choix ???
Y a deux fesses qui sont sur la plage et l'une dit à l'autre :
"Qu'est ce qu'on fait maintenant ?"
Et l'autre lui répond :
"Ben PROUT !!!"
tu connais les ordinaux? c'est plus facile avec ça
bon alors bien sûr tu peux faire (zorn) => (choix) => (bon ordre)
Sinon voilà une démonstration directe :
On suppose le lemme de Zorn vrai.
Soit E un ensemble.
On note A l'ensemble des relations de préordre total sur E, vérifiant : toute partie non vide de E admet un élément minimal. ("bon préordre")
On ordonne l'ensemble A par :
L'ordre R1 est plus petit que l'ordre R2 <=>
Pour tous x, y dans E, xR1y => xR2y
(propriétés d'ordre à vérifier...)
A est non vide, car il contient en particulier la relation toujours vraie.
1) Soit B une partie de A totalement ordonnée pour l'ordre ci-dessus. Montrons que B admet une borne supérieure :
En fait cette borne supérieure est la relation de préordre <= définie par :
x<y <=> il existe R dans B tq ( xRy et non yRx )
x<=y <=> x<y ou (pour tout R dans B, xRy et yRx)
(vérifications à faire...)
2) Donc, d'après le lemme de Zorn, A admet un élément maximal <=. Montrons que <= est un bon ordre.
Il suffit de montrer qu'il n'y a pas de x et y distincts dans E tels que x<=y et y<=x
On raisonne par l'absurde : si x et y existent, on peut définir un bon préordre <=' supérieur à <= par
u <=' v <' x pour tout u<=v<=x
x <=' u <=' v pour tout x<=u<=v
CQFD
ouais merci telchar je vais lire tout ca et pis les ordinaux jecherche une page ou on explique bien ca car cest dans la demo que javais de axiome du choix => lemme de zorn mais jai po trouve alors si tas un lien...
Y a deux fesses qui sont sur la plage et l'une dit à l'autre :
"Qu'est ce qu'on fait maintenant ?"
Et l'autre lui répond :
"Ben PROUT !!!"
et pis lautre page je lavais deja mais merci quand meme
Y a deux fesses qui sont sur la plage et l'une dit à l'autre :
"Qu'est ce qu'on fait maintenant ?"
Et l'autre lui répond :
"Ben PROUT !!!"
et pis pour la culture des gens qui lise ce topic le principe du bon ordre ca sappelle le theoreme de zermelo
Y a deux fesses qui sont sur la plage et l'une dit à l'autre :
"Qu'est ce qu'on fait maintenant ?"
Et l'autre lui répond :
"Ben PROUT !!!"
je comprends po pourquoi la relation toujours vraie appartiendrait a A... si tous les elements sont en relation comment trouver un element minimal ?
Y a deux fesses qui sont sur la plage et l'une dit à l'autre :
"Qu'est ce qu'on fait maintenant ?"
Et l'autre lui répond :
"Ben PROUT !!!"
bon voila ma demonstration inspiree dune demonstration que jai lu pour (choix) => (Zermelo)
On suppose le lemme de Zorn vrai.
Soit E un ensemble non vide.
On considere l'ensemble des couples (X,GX) avec X une partie de E et GX le graphe d'une relation de bon ordre sur X.
Cet ensemble est non vide car si x appartient à E, ({x},{(x,x)}) est dedans.
On ordonne cet ensemble par l'ordre < definie par :
(X,GX)<(Y,GY) <=> X inclus dans Y et GX inclus dans GY (bon c'est bien un ordre...)
Soit une chaine C de cet ensemble.
On considere F = reunion des X avec (X,GX) dans C et R = reunion des GX avec (X,GX) dans C.
On verifie que R definit bien une relation de bon ordre sur F et que (F,R) est la borne supérieure de C.
D'après le lemme de Zorn, l'ensemble admet un élément maximal (A,GA).
Montrons que A = E.
Si A<>E, il existe x dans E\A et on a (A,GA)<(A union {x},GA union tous les couples (a,x) avec a dans A et (x,x)) donc (A,GA) n'est pas maximal, contradiction !
Donc A = E et R definit un bon ordre sur E.
(Problème d'antislash, grrrrrrr........)
[edit]Edité par jpflori le 16-03-2002 à 13:48:07[/edit]
Y a deux fesses qui sont sur la plage et l'une dit à l'autre :
"Qu'est ce qu'on fait maintenant ?"
Et l'autre lui répond :
"Ben PROUT !!!"
tu voudrais pas dire minimum pas ke pour moi minimal ca veux dire si y minimal et x<y alors x=y...
menfin cest po important
Y a deux fesses qui sont sur la plage et l'une dit à l'autre :
"Qu'est ce qu'on fait maintenant ?"
Et l'autre lui répond :
"Ben PROUT !!!"
moué. en fait maintenant que je me rend compte qu'on ne parle pas souvent de minimal/minimum dans les relations de préordre => ya un problème de définition dans tout ça
toute facon moi je parle pas souvent de preordre donc...
Y a deux fesses qui sont sur la plage et l'une dit à l'autre :
"Qu'est ce qu'on fait maintenant ?"
Et l'autre lui répond :
"Ben PROUT !!!"
