Arithmétique - Page 1

J'ai ici un devoir (en arithmétique), avec une question qui m'échape :

a et b désignant deux entiers non nuls, démontrer que si ab est un carré parfait et PGCD(a;b)=1, alors a et b sont des carrés parfaits.

Voilavoilou le problème..

Tu peux toujours passer par la décomposition en facteur premiers, auquel cas ça va tout seul.

tutafé.
D'ailleurs je ne vois pas trop comment faire autrement de manière simple...

Oui, c'est aussi ce que je me disais. Le point clé est que si p^x = a^y.b^z, alors p = (p pgcd a).(p pgcd b). Ca ressemble à une projection selon un plan, mais je ne pense pas que ça soit un th classique.

ah ouais, merci, jai decomposé en facteurs premiers a et b. Ensuite, jai demontre que les exposants de la decomposition en facteurs premier de ab etaient forcement pairs, ce qui fait que cest un catté parfait. (en resumé et en gros ^^)

L'hypothèse non nuls est superflue
euh Pollux ton truc ne marche pas tel que tu l'énonces : 2³=2²×2¹ mais on n'a pas 2 = 2×2

Sally> on garde évidemment l'hypothèse a et b premiers entre eux

Bah je ne comprends toujours pas où tu veux en venir... si p est premier et que a et b sont premiers entre eux, alors a ou b vaut 1 et l'autre est une puissance de p, je ne vois vraiment pas l'intérêt d'écrire la formule comme tu le fais
et si p n'est pas premier ça ne marche évidemment pas, 12¹ = 3¹ × 2² et pourtant on n'a pas 12 = 3 × 2

Mouarf, quel boulet. Bon, ça ne marche que pour y=z=1 alors

(dtc?)

Bah non, ça suffit à démontrer le théorème (bon OK, c presque équivalent au théorème )