Nombres Premiers - Page 2

Bon ben là tu commences exactement comme moi aux différences de notation près (ton c c'est mon b), mais j'ai faux comme l'a fait remarquer HippoCeros... bon en fait tu as le droit d'écrire P(c), seulement d'après l'énoncé il n'est pas forcément premier (oui en plus j'ai mal lu l'énoncé ), ceci dit c'est pas grave, dans ce cas il suffit de prendre le polynôme -P qui vérifie forcément aussi la propriété.
Je traduis ce que je disais au ./2 dans ta notation : (a + bc + 1)*c est premier...
mais j'avais tort d'en déduire a + bc = 0 car ça peut aussi valoir -2.

La solution que les autres ont proposée, c'est de dire que pour k assez grand ton polynôme est toujours positif (quitte à prendre -P plutôt que P).

Ensuite si r = P(k) tu utilises que P(X + k) - r est de la forme sX² + tX (car c'est un polynôme de degré 2 nul en 0)
donc P(r + k) = sr² + tr + r ; il est forcément positif car r + k >= k et il doit être premier.
Donc sr + t + 1 = 1, donc P (k + P(k)) = P(k)... mais c'est vrai pour tout k suffisamment grand, or à partir d'un certain rang ton polynôme doit être strictement croissant... vala...

Variante plus jolie (je ne peux pas m'en empêcher, c'est terrible une fois que j'ai commencé...) :
P est de degré quelconque ; quitte à prendre -P, il est positif à partir d'un certain rang k.

Pour tout n >= k, on a : P(n + X) = P(n) + Q*X où Q est un polynôme à coefficients entiers.
Donc P(n + P(n)) = P(n) + Q(P(n))*P(n). Il est premier et positif et c'est un multiple de P(n), donc c'est P(n).
n + P(n) est strictement supérieur à n, car P(n) est strictement positif. Et il est supérieur à k, donc la propriété s'applique de nouveau.
Donc par récurrence P(n + qP(n)) = P(n) pour tout q dans |N. Ainsi P prend une infinité de fois la même valeur, il est donc constant.

C'est un beau théorème, n'empêche

De façon un peu plus simple est ce que je ne peut pas simplement dire que P(x) ne peut etre égal à 0 dc p(x) et soit supérieur à zéro ou soit inférieur à0 en distanguant les deux cas il ne reste dans chacun des cas qu'une solution et on arrive à une conclusion..... ?

Allez, ma démonstration :
(et elle a l'avantage de marcher pour tout polynôme non constant)



Donc P est le polynôme, et p=P(0)

Pour tout k entier positif, on a P(kp) = P(0) modulo p.
Comme P(0) = p = 0 modulo p, on a P(kp) = 0 modulo p

Or, comme P(kp) est un nombre premier, on a nécessairement |P(kp)| = p

Ce qui est contradictoire avec le fait que |P(x)| tend vers +infini quand x -> +infini

Ou, bien sûr, on peut conclure comme Sally en disant que P prend une infinité de fois la même valeur...

Bon OK ma démonstration c'est du bidouillage, mais elle aussi marche pour tout polynôme non constant...
(en fait c'est grosso modo la même à part que je me suis placé loin pour éviter la valeur absolue et que j'ai fait une récurrence parfaitement inutile sur q au lieu d'utiliser directement qP(n) )