trigonometrie - Page 1

pourrierz vous me demontrer la formules ci-dessus

cos (a-b) egale cos a* cos b + sin a * sin b

merci

je les ai toujours directement apprise comme ca donc pour les demontrer je sais pas trop comment faire

on les avait démontré en ts mais c trop vieux dsl

calculons cos(a-b)+i.sin(a-b)
= e^(i(a-b))
= e^(ia).e^(-ib)
= (cos(a) + i.sin(a)).(cos(-b) + i.sin(-b))
= cos(a).cos(-b) + i.cos(a).sin(-b) - sin(a).sin(-b) + i.sin(a).cos(-b)
= (cos(a).cos(-b) - sin(a).sin(-b)) + i.(cos(a).sin(-b) + sin(a).cos(-b))
Par parité des fonctions cos et sin
= (cos(a).cos(b) + sin(a).sin(b)) + i.(-cos(a).sin(b) + sin(a).cos(b))
On identifie partie réelle partie imaginaire
cos(a-b)=cos(a).cos(b) + sin(a).sin(b)
sin(a-b)=sin(a).cos(b) - cos(a).sin(b)
en remplacant b par -b
cos(a+b)=cos(a).cos(-b) + sin(a).sin(-b)
sin(a+b)=sin(a).cos(-b) - cos(a).sin(-b)
donc par parité
cos(a+b)=cos(a).cos(b) - sin(a).sin(b)
sin(a+b)=sin(a).cos(b) + cos(a).sin(b)

(y'a probablement plus simple (surtout en utilisant les exponentielles complexes))

On t'écoute, on est la pour apprendre si y a plus simple tu m'interesse

cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)
= (1/4)*(e^ia+e^-ia)(e^ib+e^-ib)-(1/4)*(e^ia-e^-ia)(e^ib-e^-ib)
= (1/4)*(e^i(a+b)+e^i(a-b)+e^i(b-a)+e^-i(a+b)-e^i(a+b)+e^i(a-b)+e^-i(a-b)-e^-i(a+b))
= (1/2)*(e^i(a-b)+e^-i(a-b))
= cos(a-b)

ou bien :

(en notant c=cos(a), s=sin(a), c'=cos(b), s'=sin(b) )

(c + i.s) * ( c' + i.s' ) = ( (c.c'-s.s') + i.(c.s' + c'.s) )

Donc, en prenant les parties réelles : cos(a+b) = c.c'-s.s'

En changeant le signe de b , on obtient cos(a-b) = cos(a).cos(b) + sin(a).sin(b)

Euh c'est exactement la même chose que ce que dit y333, mais en changeant les notations et en se limitant à la partie réelle... OK c'est peut-être plus lisible, mais du point de vue mathématique ça ne change rien du tout

Tu pense vraiment que les mathématitiens sont partis de ce membre ci puis ont decouvert que par magie ca faisait cos(a-b)?

comment vous faites les puissances?

balise [sup]; à coté du bouton pour soiligner
sinon il demandait une démo, pas une démo historique
ensuite celle-ci est directe et sans astuce donc j'aime bien

y333> Il est facile de se rendre compte que la composée d'une rotation d'angle a et d'une rotation d'angle b est une rotation d'angle a+b, et on peut même trouver les formules associées sans trop de pb.

Oui en faisant le produit des matrices de rotation on tombe direct sur la bonne formule
c = cos a, s = sin a, c' = cos b, s' = sin b

( c  -s ) ( c' -s') = (cc'-ss'  -s'c-c's)
( s   c ) ( s'  c')   (s'c+c's   cc'-ss')

(Ceci dit, les complexes de module 1 et les matrices de rotation dans le plan, c'est essentiellement la même chose)

pollux> Ah oui

Imaginons le cercle trigo dans R².

Soient u et v deux vecteurs unitaires qui font respectivement un angle de a et b avec l'horizontale.

Calculons de 2 façons le produit scalaire de u et v (qu'on note P):

P = N(a)*N(b)*cos(a-b) ;avec N(x) la norme de x
P = xa*xb + ya*yb = cos(a)*cos(b) + sin(a)*sin(b)

Comme N(a)=N(b)=1,
cos(a-b)=cos(a)*cos(b) + sin(a)*sin(b)

Et voila !
Sans passer par les complexes.

Edit: On peut demontrer de façon similaire sin(a-b)=sin(a)*cos(b) - sin(b)*cos(a) en calculant le produit vectoriel.

Galmiza :
Edit: On peut demontrer de façon similaire sin(a-b)=sin(a)*cos(b) - sin(b)*cos(a) en calculant le produit vectoriel.

Pas besoin de le démontrer séparément, il suffit de dériver la première équation par a ou par b (ce qui est valide parce qu'elle est vérifiée pour tout a et pour tout b).