Endomorphisme - Page 1

Qu'est-ce que c'est ?
Est-ce que qqn peut me dire en qq mots ?


Et la question qui tue : Est-ce que les exomorphismes existent ?

Un endomorphisme de E est un morphisme de E dans E. Morphisme ça veut dire que ça préserve la structure de E, donc si cette structure est celle d'un espace vectoriel ça veut dire qu'il s'agit d'une application linéaire.
Et un automorphisme, c'est un endomorphisme qui est aussi un isomorphisme.
Un exomorphisme, a priori ça ne se dit pas tellement, mais ce serait un morphisme de E dans F où F ne serait pas un sous-espace de E.

Ok, c'est clair
Un exomorphisme est donc un morphisme (qui n'est pas un endomorphisme). L'expression permettrait donc uniquement d'utiliser morphisme indifféremment pour endomorphisme ou exomorphisme. Pas bien nécessaire.

Je comprend pas tres bien, tu dis que un endomorphisme est un morphisme de E dans E et tu dis aussi que un automorphisme est un endomorphisme ET un isomorphisme. D apres le nom ( et mes ptit neurones ) un isomorphisme va de E dans E! j ai du mal a saisir la difference entre un isomorphisme et un endomorphisme. Est ce que un endomorphisme est un morphisme de E dans F, avec F inclus dans E?? ( avec F respectant a meme structure que E ).

mobi38

C'est ton interprétation de isomorphisme qui est mauvaise je pense, c'est une application linéaire bijective, et pas une application linéaire de E dans lui-même (endomorphisme).

Non, un isomorphisme est un morphisme qui va de E dans F, qui est bijectif et tel que sa fonction réciproque soit aussi un morphisme. E et F sont a priori différents, par contre l'existence d'un isomorphisme entre les deux montre qu'ils sont semblables du point de vue de la structure concernée (en fait on dit isomorphes), et dans certains cas ça peut te permettre de les identifier l'un à l'autre (c'est à dire de faire *comme si* on avait E = F).

Par exemple, le groupe des rotations dans le plan est isomorphe au groupe des complexes de module 1, par la fonction qui à la rotation d'angle thêta associe e^i·thêta. On peut identifier ces deux groupes, par exemple en considérent que le plan est (C et que la rotation d'angle thêta est la multiplication par e^i·thêta, mais ce n'est pas *vraiment* deux fois le même : l'un est un groupe de fonctions et l'autre un groupe de nombres.

Un automorphisme, c'est par exemple la fonction de conjugaison dans (C : elle va de (C dans lui-même en respectant la structure de corps, elle est bijective et sa réciproque respecte aussi la structure (puisque c'est la même fonction ).

Est ce que un endomorphisme est un morphisme de E dans F, avec F inclus dans E?? ( avec F respectant a meme structure que E ).

C'est un morphisme de E dans E qui n'est pas forcément surjectif, donc oui c'est ça. (Il n'est pas forcément injectif non plus). Par exemple la fonction x |-> 0 est un endomorphisme de |R

BiHi > les applications linéaires c'est les morphismes d'espaces vectoriels, mais on peut parler de morphismes de n'importe quoi (enfin faut que ce soit une catégorie je crois, mais je ne sais pas ce que c'est qu'une catégorie donc bon).

On peut parler de morphismes si on a une structure qui est caractérisable mathématiquement. Je te vois mal définir un morphisme de chiens par exemple. Quand est-ce que 2 chiens sont isomorphes? Un chien clôné est-il isomorphe à l'original? Si oui, comment se fait-il que leur âge est différent? Etc. C'est pour ça qu'il faut une catégorie mathématique. Maintenant, "catégorie" n'est pas non plus très facile à définir, il y a toute une théorie à ce sujet (que je ne connais pas non plus, j'avoue).

Une catégorie est la donnée :
- d'une "collection" d'objets C
- pour chaque couple d'objets X et Y de C, d'un ensemble d'objets appelés morphismes ou flèches de X dans Y.

Avec en plus quelques axiomes simples, qui doivent être (de mémoire) :
- Si u : Y->Z et v : X->Y sont deux morphismes, alors il existe un morphisme composé uov : X->Z
- Cette composition est associative.
- Pour tout X dans C, il existe un morphisme Id : X->X, appelé l'identité de X, qui est un élément neutre pour la composition.




Exemples :

- La catégorie Ens de tous les ensembles, où les morphismes sont toutes les applications.
- La catégorie de tous les groupes, où les morphismes sont les morphismes de groupes.
- La catégorie des espaces vectoriels, où les morphismes sont les applications linéaires.
- La catégorie des ensembles ordonnés, où les morphismes sont les applications croissantes.
- La catégorie des espaces topologiques, où les morphismes sont les applications continues.
- etc....



Le problème dans la définition est bien sûr le sens qu'on doit donner à "collection" (l'ensemble de tous les ensembles / de tous les groupes / de tous les espaces vectoriels, ça n'existe pas...). Il est possible de contourner le problème de plusieurs façons :
- On peut définir la catégorie formellement, par une formule de la théorie des ensembles. La collection n'est plus alors qu'une "chaîne de caractères" décrivant ce qu'est un groupe, par exemple.
- On peut dire que la "catégorie des groupes" n'est qu'un ensemble de groupes, qui ne contient pas tous les groupes mais qui contient tous ceux dont on a besoin par la suite.

On ne s'intéresse plus ensuite à ce problème de définition ensembliste.





Un foncteur est une application F d'une catégorie C dans une catégorie C' (c'est à dire qui à un objet X de C associe un objet F(X) de C', et à un morphisme u:X->Y associe un morphisme F(u):F(X)->F(Y) ), telle que F(uov) = F(u)oF(v).

Par exemple, le foncteur d'oubli, de la catégorie des groupes (ou espaces vectoriels, ou ce que vous voulez), dans la catégorie des ensembles, qui à un groupe associe le même groupe considéré comme un ensemble.

Ou bien le foncteur dans les espaces vectoriels, qui à E associe L(F,E), F étant un espace vectoriel fixé.




Des tas de choses en algèbre s'exprime à l'aide des catégories et des foncteurs. C'est un niveau d'abstraction supérieur très utile
(=> groupes fondamentaux, groupes d'homologie, dualité...)

Par exemple, la catégorie opposée d'une catégorie C est la catégorie formée des mêmes objets, dans laquelle on a inversé le sens des flèches.
Une dualité de C est un foncteur de C sur sa catégorie opposée. Par exemple, la dualité des espaces vectoriels, avec la transposition : ^t(f o g)=^tg o ^tf

Mici Hippo

Mais :

t(f o g)=tf o tg

corrigé...