Problème de géométrie tout simple - Page 2

Thibaut> tu veux vraiment résoudre le pb avec la somme des distance, et pas plutôt la somme des carrés des distances?

ça parait insoluble(!) ou très difficile sans carré...

On dit "insoluble" il me semble

Avec la somme des carrés des distances, je veux bien ! A condition que la droite calculée suive la droite dessinée grossièrement par les points.

Tiens, je viens d'avoir une petite idée

Je ne me souviens plus si j'ai précisé, mais ce qu'il me faut surtout, c'est le coefficient directeur de la droite.
Mon idée pour l'obtenir :

1- calculer le coefficient directeur de la droite qui passe par le premier point et le second point
2- calculer le coefficient directeur de la droite qui passe par le second point et le troisième point
3- etc...
x- Faire la moyenne de tous les coefficients directeurs.

On obtiendrait quelque chose de précis, selon vous (de mon côté, je vais faire quelques simulations avec ma TI) ?

jjtrouve pas ca fiable avec les points que je t'ai donnés précedemment

Bon, j'ai fait un test et mon idée de calcul est à chier

y333 : quels points ?

LES POINTS A B ET C DE COORDONN2ES/
A ( -1,3 )
B ( 1,-1 )
C ( 3,1 )
avec ces points la droite doit avoir pour équation: y=x !!!!

idée:

Xi les points, (xi,yi) les coordonnées correspondantes.
La distance totale à la droite d'eq a.x+b est donnée par:
Sum(|-xi+a(yi-b)|) = d
{Xi}

donc je dirait que la droite vérifie

d = 
  Max (
    Min ( 
      Sum(
        ei*(-xi+a(yi-b))
       {xi} )
      (a,b) € |R²
    {ei} € {-1,1}^n )

c koi la distance totale de ta droite d?
{Xi} ?
et {ei}

c faux ton truc nan?
avec mes points je trouve que la distance vaut 8 alors qu'elle vaut 4 fois racine de 2

Et surtout tu ne tiens pas compte de la condition de Thibaut.
Si on veut minimiser la somme des carrés des distances, c'est connu (régression linéaire). C'est la condition supplémentaire qui pose problème: la somme des distances orientées doit être nulle. Le problème est de trouver la solution avec la somme des carrés des distances minimales parmi celles qui vérifient la condition donnée par Thibaut.

C bon, je crois avoir trouvé, bon encore une bonne nuit que je me retape et je vérifie
pour voir si ca marche. Verdict demain mais a priori avec les tests que g fait, ca marche!
on trouve le coef de la droite d'équation y=a.x+b
on à a, tu veux b ou pas parcque je peux aussi le trouver ?

en fait non ca marche pas tout le temps j'avais oublié un parametre.
mais bon, g deja un point de la droite
si vous avez une idée pour le second

je viens de m'apercevoir qu'il avoir plusieures equation de droites qui vérifient ca, en effet si on prend mes 3 points, on a:
y=x
y=-x+2
y=1
x=1

y333 a écrit :
LES POINTS A B ET C DE COORDONN2ES/
A ( -1,3 )
B ( 1,-1 )
C ( 3,1 ) avec ces points la droite doit avoir pour équation: y=x !!!!

Si tu as un point, on peut trouver le coeff. dir. par approximation : on fait tourner la droite autour de ce point jusqu'à ce que la somme des carrés soit minimale ?

Comment calculer la distance d'un point à une droite ?
J'ai retrouvé dans mes vieilles gruges cette formule :

          |aX + bY + c|
d(A;D) = ---------------
            __________
          \/ a² + b²

Mais impossible de savoir à quoi correspondent aX, bY, c, a, b

euh... A(X,Y) et D d'équation a*x+b*y+c=0

Mais est-ce que de comparer simplement les ordonnées respectives du point et de la droite pour une même abscisse ne suffirait pas ? (enfin, tant que la droite n'est pas verticale)

Sinon, pour trouver la distance d'une droite à un point, voici une idée qui vient de me traverser la tête (mais qui m'a l'air plus lente que ta jolie formule) : il faut simplement trouver les coordonnées du point à l'intersection de la droite et d'une autre droite perpendiculaire à la première et qui passe par le point dont tu veux trouver la distance. Et après calculer la distance de ce point à l'autre.
Je pense qu'avec des petites formules simples, ça devrait aller.
Ou mieux : tu fais le produit scalaire entre un vecteur dont l'origine est un point de la droite et l'extrémité le fameux point et un deuxième vecteur dont la direction est perpendiculaire à celle de la droite.

y333 a écrit :
je viens de m'apercevoir qu'il avoir plusieures equation de droites qui vérifient ca, en effet si on prend mes 3 points, on a:
y=x
y=-x+2
y=1 x=1

C'est ce que je dis depuis le début (#7).

> comparer simplement les ordonnées respectives du point et de la droite pour une même abscisse

Non, parceque j'envisage de faire subir une même rotation aux points et à la droite pour la rendre horizontale. Ainsi, la distance "orthogonale" du point à la droite devient l'ordonnée du point "rotaté" (ce verbe n'est pas dans mon dictionnaire ).
Tu vas me dire : alors fais pas chier et utilise des co/sinus pour tout "rotationner", t'auras les ordonnées de points !
Non, car en cherchant la distance des points à la droite, on arrive au même résultat sans trigonométrie => plus rapide

Ton idée : j'y ai pensé, mais j'ai rejeté cette méthode parceque, comme tu le dis, c'est trop lent

paxal : t'es sûr ? si c'est bien ça, alors merci
Et moi il faudra que j'arrête de faire des gruges incompréhensibles

pour la distance tu as, si l'eq de d est ax+by+c=0

d(A,D) = abs(BA.n)

(ou BA et n sont des vecteurs)
avec B sur la droite (par exemple B(0,-c/b) et n un vecteur normé perpendicualire à la droite: il suffit de prendre un vecteur directeur de la droite et de prendre le perpendiculaire.
par exemple (a,b) pour le vecteur directeur de d et donc

      1  
n = ----- * (a,b)
    a²+b²

et on retombe sur ta formule

Donc ça revient à ma deuxième idée du post #46

J'ai jamais appris que d(A,D) = abs(BA.n)
On voit ça en quelle classe théoriquement ?

C'est vu grossièrement en 1S ou TS normalement (je ne sais plus exactement), mais sinon c'est de l'algèbre linéaire de base (qu'on apprend vers le début de ses études en faisant des études de Mathématiques).

Explication:
La distance d'un point A à une droite D est la distance de A à son projeté orthogonal H sur cette droite. En d'autres mots: d(A,D)=||AH||.
En prenant un point quelconque B sur D, on obtient un triangle ABH rectangle en H. [AH] est donc le projeté orthogonal de [AB] sur (AH)=(A,n). Et maintenant on applique la formule "magique" vue en fin d'école ou début d'université: la projeté orthogonal du vecteur BA sur une droite de vecteur directeur n est le vecteur BA . n / ||n||². Sa longueur est donc ||BA . n|| / ||n||². Si on choisit un vecteur directeur unitaire (||n||=1), on a la formule désirée: d(A,D)=||AH||=||BA . n||.

Bô je l'ai probablement vu puisque j'avais la formule qui découle de ta démonstration. Ca n'a pas dû nous servir pour que je ne m'en rappelle pas du tout

alors tu dois pas savoir à quel point c'est génial les Maths! D'ailleurs ca me manque grave de pas avoir de cours! vivement mai!

paxal a écrit :
pour la distance tu as, si l'eq de d est ax+by+c=0

d(A,D) = abs(BA.n)

(ou BA et n sont des vecteurs)
avec B sur la droite (par exemple B(0,-c/b) et n un vecteur normé perpendicualire à la droite: il suffit de prendre un vecteur directeur de la droite et de prendre le perpendiculaire.
par exemple (a,b) pour le vecteur directeur de d et donc

      1  
n = ----- * (a,b)
    a²+b²

et on retombe sur ta formule

désolé mais je crois que tu as fais une faute! ce ne serais pas 1 sur le module fois les coordonées? soit:

      1  
n = --------------- * (a,b)
    racine(a²+b²

)

vi

[google]Méthode des moindres carrés[/google]

Soit en gros:

ta droite: y(x) = b1.x+b0

        n*Sum(xi*yi,i=1..n) - Sum(xi,i=1..n)*Sum(yi,i=1..n)
b1 = ------------------------------------------------------------
              n*Sum((xi)²,i=1..n) - (Sum(xi,i=1..n))²

         Sum(yi,i=1..n)-b1*Sum(xi,i=1..n)
b0 = ----------------------------------------
                             n

ca m'a l'air correct, bravo!