mové en math :| - Page 1

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Moi j'ai appris l'exponentielle comme étant la bijection réciproque de la fonction ln (logarithme népérien).
On ne nous a pas indiqué d'utilité à la fonction exponentielle, mais j'ai remarqué qu'elle était souvent utilisée en électronique pour calculer des temps de charge de condensateur par exemple.
Par contre, la fonction ln est très intéressante, elle a été créée pour simplifier les calculs : avant, quand on ne disposait pas de calculatrice (ça devait être vers le XVIII ème siècle), on ne pouvait pas faire de calculs avec des trops grands nombres parce que ça devenait bien trop compliqué, surtout pour les multiplications. Donc Néper à trouvé une fonction qui a cette propriété : ln(a*b)=ln(a) + ln(b). Ce qui permettait aux scientifiques de transformer une multiplication en addition !
C'est ça l'origine de la fonction ln.
Pour revenir à la fonction exponentielle, elle a une propriété très intéressante, c'est que sa dérivée est égale à elle-même, donc par exemple,la dérivée de e^(2x), c'est 2e^(2x). En nommant la fonction exponentielle "f", on a des équations du style : f'(a*x)=a*f(a*x) (équivalent à : e^(a*x)=a*e^(a*x)), c'est ce qu'on appelle une équation différentielle, parce qu'on a f' et f dans la même expression.
L'utilité des équations différentielle, on ne m'en a pas vraiment parlé ou alors j'ai oublié, mais j'ai remarqué qu'en électronique, on en utilisait aussi (j'ai fait un parcours STI électronique)...
La but d'une équation différentielle est de trouver la fonction f.
Exemple : f' - 4f = 0
<=> f' = 4f
On reconnait la forme citée plus haut, donc f(x) = e^(4x).
On vérifie en dérivant f(x) : f'(x) = 4*e^(4x). On a bien f' = 4f

Mon cours était nul?
Sinon tu as juste besoin de savoir que exponentielle c'est une fonction très marrante qui quand tu la dérive t'obtiens elle-même ^^
donc (e^x)' = e^x
et donc (e^f(x))' = f'(x).e^f(x)

c'est donc pratique pour les équa diff car les équa diff sont des relations à vérifier entre des fonctions et leurs dérivées, comme ces dérivées sont "proches" des fonctions.

sinon une fois que tu as compris ça, en terminale on te demande rien d'autre que d'appliquer, t'as pas besoin de savoir pourquoi mais:
y'+ay+b = 0 <=> y = K.e^(-ax) - b/a où K est une constante réelle
et d'autres formules (je sais pas ce que vous devez savoir vu que j'ai pas le cours)

c pareil pour cos et sin tu remarques que si tu les dérives, tu obtiendras de nouveau des sin et des cos, c'est pour ça que ces fonctions apparaissent dans les solutions d'équations différentielles.

Bon c'est très intuitif et pas très rigoureux (telchar, Kevin Kofler, Moumou, Sally, et les autres: pas taper) mais j'espère que ça te fera un peu mieux comprendre.

[Edit: un oubli]

L'exponentielle ça sert partout, dans toutes les sciences, ça doit même être la fonction "non élémentaire" qui sert le plus... (avec le logarithme)

Sasume> faut aussi qu'il comprenne qu'il n'y a pas qu'une solution aux équations différentielles, ya toujours une constante.
Par exemple dans le cas f' -4f=0 la solution (en appliquant sans réfléchir la formule du cours) est:
f(x) = K.e^(4x) où K est une constante réelle.
Ca veut dire que quelque soit K, l'équation f'-4f=0 est vérifiée:
f' = 4K.e^(4x)
donc f' -4f = 4K.e^(4x) - 4K.e^(4x) = 0 l'équation est vérifiée.

la fonction exponentielle est très utilisée en électronique (notamment) pour simuler des courants alternatifs: on établit une bijection entre le signal réel, par exemple i et son équivalement complexe ~i, et on effectue tous les calculs sur ~i. Car on a l'exponentielle complexe définie par: exp(i*x) = cos(c)+i*sin(x). Donc en prenant la partie réelle on peut retomber sur une équation en cos. Et la fonction en exp est bien plus pratique pour tout ce qui est calculs et équation différentielles, car comme dit plus haut exp(f(c)) = f'(x)exp(f(x)). De plus exp(a+b) = exp(a)exp(b).

Dit autrement, le fait que cette fonction soit égale à sa dérivée signifie que sa vitesse de croissance est proportionnelle à sa valeur.
Si tu as déjà vu les suites géométriques, l'exponentielle en est l'équivalent mais en continu.

Sinon, les équations différentielles ça sert un peu partout en physique, à commencer par en mécanique newtonienne : le principe fondamental de la dynamique te dit que l'accélération (c'est à dire la dérivée seconde de la fonction qui à un instant associe une position, la vitesse en étant la dérivée première) d'un mobile est proportionnelle à la somme des forces exercées sur lui, et c'est ce principe qui te permettra de prédire son mouvement...

car l'accélération est la dérivée de la vitesse qui est la dérivée de la position (en fonction du temps à chaque fois bien sûr ). Donc la somme des force est proportionnelle à l'accélération, or certaines forces sont proportionnelles à l'accélération, d'autre à la vitesse, et pourquoi pas à la position, sans compter les constantes. Donc pour résoudre une équation entre l'accélération et la somme des forces on a la joie de devoir faire mumuse avec des équadiffs

Donc la somme des force est proportionnelle à la somme des forces

ué bon tu sais très bien ce que je voulais dire

:P

Exponentielle ca sert aussi pour le passage en nombreux complexe d un Cos ou Sin! c est super l exponentielle! Ou encore pour la linearisation!

./2>

Par contre, la fonction ln est très intéressante

Perso je trouve que exp est plus utilisée que ln (ne serait-ce que parce qu'elle est définie sur |R ou (C tout entier, et pas sur |R*+ seulement, et parce qu'elle est développable en série entière sur tout son domaine de définition, ce qui n'est pas possible pour ln qui diverge en 0...)

ln aussi est developpable en serie enteire !?

oui :P prend ton cours

Je voulais dire : "développable en série entière sur tout son domaine de définition", i.e pour tout x, f(x)=Somme(a[i].x^i)
J'édite ./13

Le logarithme est développable en série entière sur tout son ensemble de définition !!

POST: 12 et parce qu'elle est développable en série entière sur tout son domaine de définition, ce qui n'est pas possible pour ln qui diverge en 0

ensemble de definition de ln c est bien |R*!? J ai l impression que certain ici essaie de recreer les maths!

non, c'est R+*

On peut l'étendre au maximum à C privé d'une demi droite d'origine 0.

Si des profs de maths venaient par ici il serai malade d entendre des enormites pareils! Moi j assume, j ai mis |R* au lieu de |R+* tampis!

de même que des profs de français

Le logarithme est développable en série entière sur tout son ensemble de définition !!

Attention, je n'ai pas dit analytique sur son domaine de définition (parce que là c'est vrai), mais développable en série entière sur son domaine de définition, i.e. : pour tout x, f(x)=Somme(a[i].(x-x0)^i) -> ce n'est pas possible parce qu'il faudrait trouver une boule ouverte égale à l'intérieur de C - R^- (qui est lui-même) (je dis "égale" et pas "contenant" parce qu'il y a discontinuité sur R^-)

"Analytique" signifie exactement "développable en série entière en tout point de l'ensemble de définition".
Et "développable en série entière" en un point x0 signifie : f(x)=Somme(a.(x-x0)^i) dans un voisinage de x0 (non réduit à un singleton).




La propriété que tu cites est "développable en série entière, de rayon de convergence infini", ou "somme d'une série entière sur C"...

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La propriété que tu cites est "développable en série entière, de rayon de convergence infini", ou "somme d'une série entière sur C"...

OK, alors au temps pour moi. Problème de vocabulaire

justement on a pas vu le LN

On peut définir ln par ln(x)=intégrale(1/t, t=1..x)
Ca te donne pas mal de propriétés, du genre : ln(x*y)=ln(x)+ln(y), ln(x^n)=n*ln(x), etc...

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Aïe... Tu connais la dérivée?

bon si f est la dérivée de F, F est une primitive de f (une primitive, car comme la dérivée fait sauter les constantes, quand tu prend une primitive y'a une constante qui apparait). Et l'intégrale de f entre a et b c'est F(b)-F(a) (et là y'a pas de constante car elle saute dans la soustraction). Vala en gros,.

En d'autres termes, si ta courbe est au-dessus de l'axe des abscisses (ce qui est le cas ici) et si a<=b (ce qui est le cas quand x>=1), c'est la surface de la courbe délimitée par : {x=a,x=b,y=0,y=f(x)}. Si b<=a, alors c'est l'opposé.