Qu'est-ce que tu entends par revêtement dans ces cas-là?
Les revêtements c'est un concept de topologie algébrique plus général que ce que j'ai donné jusqu'à maintenant.
On se donne X un espace topologique (ou quelque chose de plus riche, comme une variété différentiable).
Un revêtement de X est un espace topologique Y et une surjection continue PI : Y -> X tels que :
Pour tout point a de X, il existe un voisinage U de a dans X tel que PI^(-1) (U) est homéomorphe à U*D, où D est un espace discret.
Bon, pas facile de se représenter la définition... Voilà quelques exemples :
- X = R/Z et Y = R
- X = R/Z et Y = R/nZ
- X = l'espace projectif de dimension d, Y = la sphère de dimension d
(Les PI étant les projections évidentes)
Si D est un ensemble fini à n éléments, on dit que c'est un revêtement à n feuillets.
Si Y est simplement connexe, on dit que c'est le revêtement universel de X. C'est en un certain sens le "plus grand" revêtement de X. On montre que tous les espaces "honnêtes" ont un revêtement universel, et il est unique. ("honnête" signifiant ici "semi-localement simplement connexe"

, ce que presque tous les espaces vérifient)
Il y a une analogie étonnante entre la théorie des revêtements et la théorie de galois en algèbre.
X <-> corps de base
revêtement Y <-> extension de corps
revêtement universel <-> clôture algébrique
n feuillets <-> de degré n
groupe fondamental <-> groupe de galois
Parce que si P est un ensemble "bizarre",
P ne peut pas vraiment être un ensemble bizarre : l'ensemble des pôles d'une fonction holomorphe est discret et sans point d'accumulation, si je ne m'abuse.
c'est possible qu'on ne puisse plus du tout l'indexer par C\P x Z, non?
Note que le revêtement universel de C\P est très différent de celui de C*. A vue de nez, il faudrait prendre non pas Z copies de C découpé, mais un ensemble de copies indexées par le groupe libre de base P.
RU2(C*)
Appelons le plutôt R2(C*). Il n'est pas universel, celui là
Mais ça devient une bijection de R2(C*) dans C*,
Est ce le cas? #hmmmm# Oui, ce doit être le cas.
Dans ce cas-là, si, puisque les classes d'équivalences sont isomorphes. On peut identifier C* x Z et RU(C*) (même si c'est pas très canonique non plus )
Nan
Les deux ensemble ne sont pas du tout isomorphes. RU(C*) est connexe alors que C* x Z ne l'est pas!
Dans C* x Z, si tu te ballades sur la surface, tu restes toujours sur le même feuillet.
Alors que dans RU(C*), si tu te ballades sur la surface et que tu tournes autour de 0, tu changes de feuillet.
il n'y a pas non plus d'isomorphisme multiplicatif (puisqu'on peut définir la multiplication sur ces deux ensembles)
on définit exp(2i.n.Pi) comme le 1 qui appartient au feuillet n° n.
Ca y est je vois ce que tu veux dire avec exp_barre. Je n'avais pas compris... voir plus bas!
Ah ouais? Cool Et tu la définis comment, ton addition?
Ah la la ces gens qui cherchent des complications
Je ne suis pas sûr qu'on puisse définir une addition intéressante. Sur RU(C*) on penserait plutôt à y mettre une multiplication.
Quand je dis qu'on peut parler de série, ça veut dire qu'on peut avoir une série Sigma(an*z^n) : Morceau de RU(C*) -> C en composant par la projection PI :
Sigma(an*z^n):=Sigma(an*PI(z)^n)
Ah bon? Ca m'étonne, tu peux me dire où foire la définition que j'ai donnée de exp_barre? Là je ne vois pas
En fait tu as parfaitement raison.
Il y a bien une application exp : C -> RU(C*) de classe C^oo, réciproque de ln.
Autant pour moi
