DM sur les fonctions. HELP PLEASE - Page 1

Soit f la fonction definie dans R par:

f(x) = 4 - 3x²

1) Conjecturer le sens de variation de f à l'aide du tracé obtenu avec la calculatrice.

Ca j'ai reussi !

2) Déterminer le signe de f(a) - f(b), a et b étant des réels de ]- l'infini , 0] avec a<b
En déduire le sens de variation de f sur ] - l'infini , o].

J'ai rep : le signe de f(a) - f(b) est négatif.
a² - b² < 0
si a = -5 et b = -2
alors a² - b² <=> -5² - (-2²)
<=> -21
donc le sens de variation de f est decroissant.
c juste?

3) a et b étant des réels de [0; + l'infini[ avec a<b, en utilisant les probrietés des inégalités et des opérations, comparer f(a) et f(b). En deduire le sens de variation de f sur [0; + l'infini[.

Je seche sur cette kestion.

Merci pour votre aide.

Sunshiine (./1) :

J'ai rep : le signe de f(a) - f(b) est négatif.
a² - b² < 0
si a = -5 et b = -2
alors a² - b² <=> -5² - (-2²)
<=> -21
donc le sens de variation de f est decroissant.
c juste?

Non, t'as seulement pris un exemple, fallait raisonner dans le cas général .

Sunshiine (./1) :

3) a et b étant des réels de [0; + l'infini[ avec a<b, en utilisant les probrietés des inégalités et des opérations, comparer f(a) et f(b). En deduire le sens de variation de f sur [0; + l'infini[.

Utiliser que f(-x) = f(x) et appliquer la question 2.

Sunshiine (./1) :
2) Déterminer le signe de f(a) - f(b), a et b étant des réels de ]- l'infini , 0] avec a<b
En déduire le sens de variation de f sur ] - l'infini , o].

J'ai rep : le signe de f(a) - f(b) est négatif.
a² - b² < 0
si a = -5 et b = -2
alors a² - b² <=> -5² - (-2²)
<=> -21
donc le sens de variation de f est decroissant. c juste?

Alors d'abord, pourquoi tu calcules a² - b² ? Quel est le rapport avec f(x) ?
J'ai l'impression que tu veux utiliser le signe d'une différence. Il y a de l'idée, mais ce n'est pas a² et b² qu'il faut comparer . Propose autre chose, et on te dira si c'est bon .

Ensuite, comme dit par Candide, on te demande de donner une généralité. Donc tu ne dois utiliser aucune valeur numérique !
Je te donne un contre exemple pour te montrer que ton raisonnement est faux :
-2 < 1 et (-2)² > 1² mais on ne peut pas en déduire que la fonction carrée est décroissante sur |R. D'ailleurs elle ne l'est pas : elle est décroissante sur |R- et croissante sur |R +

Voici donc la méthode pour déterminer le sens de variation d'une fonction sur un intervale I :
Si pour TOUS a et b appartenant à I tels que a<b, on a f(a)<f(b), alors f est croissante sur I (I n'est pas forcément tout l'ensemble de définition de f)
Si pour TOUS a et b appartenant à I tels que a<b, on a f(a)>f(b), alors f est décroissante sur I
Et si c'est ni l'un ni l'autre, soit tu t'es trompé dans tes calculs, soit il y a rien à en déduire


Et enfin, tu as écrit " a² - b² <=> -5² - (-2²) <=> -21
Premièrement, il ne faut pas écrire le signe <=> (qui veut dire "équivaut à"), mais le signe = , car tu fais simplement un calcul . Le signe équivaut à, on l'utilise pour lier ensemble des équations, des inéquations, des systèmes d'équation, et à la rigueur des phrases. Pas des nombres seuls.
Mais surtout, ATTENTION !!!! Ton égalité est fausse !!! Avec a = -5 et b= -2 , il faut inclure le signe dans la parenthèse quand on met au carré ! On a donc a² - b² = (-5)² - (-2)² = 25 - 4 = + 21

Pour finir, tu nous sors cash, sans explication, le sens de variation de f. Quand tu as le signe d'une inéquation, il faut remettre les 2 termes des 2 côtés du signe. Si j'ai par exemple x-y < 0, ça me donne x < y (c'est important de passer par cette étape, pour ne pas faire de faute d'inattention )



Dis-moi si tu n'as pas bien compris quelque chose

Je ne sais pas mais je trouve la formulation de ta définition pour le sens de variation un peu bizarre :
Si pour TOUT a et b appartenant à I, on a a<b et f(a)<f(b), alors f est croissante sur I (I n'est pas forcément tout l'ensemble de définition de f)
Si pour TOUT a et b appartenant à I, on a a<b et f(a)>f(b), alors f est décroissante sur I

C'est bizarre de dire "si pour tout a et b de I, on a a<b et.."

J'aurais plutôt dit
Si pour TOUT a et b appartenant à I tels que a<b, on a f(a)<f(b), alors f est croissante sur I (I n'est pas forcément tout l'ensemble de définition de f)
Si pour TOUT a et b appartenant à I tels que a<b, on a f(a)>f(b), alors f est décroissante sur I

non ?



Sunshiine :
J'ai rep : le signe de f(a) - f(b) est négatif.
a² - b² < 0
si a = -5 et b = -2
alors a² - b² <=> -5² - (-2²)
<=> -21
donc le sens de variation de f est decroissant.

Comme on te l'a dit, ce n'est pas correct de prendre un exemple numérique pour essayer de prouver quelque chose, essaie autrement. J'ajoute juste que, en plus de cela, tu as commis une erreur en concluant. Si f(a)-f(b) est négatif tandis que a<b, cela signifie que f(a)<f(b), donc que ta fonction est croissante.

Non, ma proposition marche, je dirais. En fait avec ma formulation on peut tout de même ajouter une virgule pour que ce soit plus clair : Si, pour tout a et b appartenant à I, on a ...
Ce qui compte c'est que la phrase soit correcte et ait le bon sens, non ?

Après, il y a peut-être des formulations auxquelles tu es plus habitué, mais c'est une autre affaire

PS : de toute façon, dans le concept d'un exercice, on ne combinera pas tout ça en une seule phrase, donc la question ne se posera pas .

On dira par exemple :
- Soit a et b appartenant à I tels que a<b (qu'on peut reformuler par "Soit a et b appartenant à I. Supposons que a<b)
- [suite de la démonstration]
- Donc f est croissante/décroissante

Ou alors j'aurais bien vu un petit "pour" après le "on a". Enfin c'est certainement une question d'habitude oui, désolé de l'avoir relevé.

Tu es en quel niveau ? (juste par curiosité)
Tu fais bien de le relever, ça me permet de m'expliquer . Je suis d'accord que ta version est peut-être plus conventionnelle, plus commune. Mais dans les fait, elle veut dire exactement la même chose que la mienne (entre autres grace au "si ... alors")

ben même, ce n'est pas un problème de virgule, c'est le "et" qui ne va pas. Tu ne veux pas que par hasard on ait à la fois a < b et f(a) < f(b), tu veux que dès qu'on a le premier on ait aussi le deuxième...

tu aurais pu aussi écrire : Si pour TOUS a et b appartenant à I on a : a < b implique f(a) < f(b), alors f est dite croissante sur I
edit : triple cross :- Souane > tu oublies d'accorder quand il y a plusieurs variables, tu ne peux pas utiliser "tout" au singulier avec "a ET b", et de même pour "soit" ^^

Je suis encore en terminale..

Sally : vu qu'on dit "pour TOUS a et b", ça revient au même, non ? (et pour le coup je vois pas la différence avec la proposition de Marc, pour faire face à ton argument)

Je crois que le "soit" au singulier est admis même pour plusieurs variables.. non ? Ou alors l'erreur est très fréquente. C'est comme "c'était" ou "c'étaient" suivi d'un pluriel, les deux s'emploient.

Dans ma proposition
Si pour tous a et b appartenant à I tels que a<b, on a f(a)<f(b), alors f est croissante sur I
on retrouve bien l'idée du "si on a : a<b implique f(a)<f(b), alors.."
Comme dans
Si pour tous a et b appartenant à I, on a pour a<b, f(a)<f(b), alors f est croissante sur I

Le soit au singulier est admis en début de phrase, je pense (de toute façon les profs de maths savent pas écrire le français )

ben je ne comprends pas ta phrase : si tu dis "pour tous a et b dans I, on a a < b et f(a) < f(b)", ça veut précisément dire que quelle que soit la façon dont tu choisis a et b dans I, il est toujours vrai à la fois que a est plus petit que b et que f(a) est plus petit que f(b).

Or à partir du moment où il existe un nombre dans I, c'est faux, parce que tu peux choisir a = b (en effet "pour TOUS a et b" inclut le cas où a = b, puisque c'est tous les cas possibles) et il est alors faux que a < b. Donc la seule possibilité pour que ton truc soit vrai est que I soit un intervalle vide. Du coup, globalement, ce que tu as écrit n'est pas faux, parce qu'effectivement sur un intervalle vide une fonction est toujours croissante et décroissante, mais bon

bon sinon, un détail, mais là c'est la définition de *strictement* croissante/décroissante (sinon il faut mettre "inférieur ou égal" partout)

edit : ben pour soit je sais pas mais ça fait mal aux yeux en tous cas (surtout avec le "tels que" au pluriel juste après, à la limite si tout était au singulier ça sous-entendrait que "a et b" est considéré comme une unique entité, après tout pourquoi pas, mais si on mélange singulier et pluriel c'est pas très cohérent)

Ah ok, je viens de comprendre, ok, t'as raison... OTAN pour moi .

Si elle est strictement croissante elle est croissante, donc ça pose pas de problème. J'ai pas mis d'équivalence .

Sally (./13) :
ben je ne comprends pas ta phrase : si tu dis "pour tous a et b dans I, on a a < b et f(a) < f(b)", ça veut précisément dire que quelle que soit la façon dont tu choisis a et b dans I, il est toujours vrai à la fois que a est plus petit que b et que f(a) est plus petit que f(b).

Tout à fait exact

Sally (./13) :
bon sinon, un détail, mais là c'est la définition de *strictement* croissante/décroissante (sinon il faut mettre "inférieur ou égal" partout)

Oui mais pas partout même si ce n'est pas faux. Par exemple, pour f croissante sur I, il faudrait écrire :


Il est parfois plus commode d'écrire

Sally (./13) :
edit : ben pour soit je sais pas mais ça fait mal aux yeux en tous cas (surtout avec le "tels que" au pluriel juste après, à la limite si tout était au singulier ça sous-entendrait que "a et b" est considéré comme une unique entité, après tout pourquoi pas, mais si on mélange singulier et pluriel c'est pas très cohérent)

oui, si on écrit de manière châtiée, on doit écrire "soient a et b des réels" mais la pratique montre que c'est assez mal respecté. Ce qui compte surtout c'est d'être homogène i.e. utiliser toujours la même règle.



Candide

Si tu préfères, soit (a,b) appartenant à I²/a<b

candide (./15) :
Il est parfois plus commode d'écrire : pour tous a et b dans I, (f(b) - f(a))/(b - a) >= 0.

oui mais ça oblige à préciser que a doit être différent de b.
Bon sinon c'est strictement équivalent de mettre a < b ou a <= b de toute façon (parce que le fait que si a = b alors f(a) = f(b) est toujours vrai)

Souane (./12) :
(de toute façon les profs de maths savent pas écrire le français )

Hum, je ne sais pas si tu es sérieux mais tu es dans l'erreur. Un prof de maths ou un matheux en général utilise beaucoup plus de lettres que de chiffres. D'après ce que je sais, les profs de maths sont TRES attachés à une bonne expression écrite (si tu as fait peu de géométrie par exemple, tu t'es rendu compte qu'il y a souvent beaucoup de rédaction) et en particulier à une orthographe soignée.


Candide

Candide : ici c'est un forum, tu n'es pas obligé de signer à chaque fois que tu t'exprimes, vu que ton pseudo est indiqué en haut de ton post .
Quand à ma phrase, j'ai utilisé un smiley . Je n'ai pas dit qu'ils n'étaient pas attachés à une bonne expression écrite (qui va de paire avec un minimum de raisonnement logique) .

Sally (./17) :

candide (./15) :
Il est parfois plus commode d'écrire : pour tous a et b dans I, (f(b) - f(a))/(b - a) >= 0.

oui mais ça oblige à préciser que a doit être différent de b.

Oui, tu as raison, il faut écrire

Exemple d'application : montrer que si x et y sont des réels alors


(ça peut en fait se montrer de diverses façons).

Sally (./17) :
Bon sinon c'est strictement équivalent de mettre a < b ou a <= b de toute façon (parce que le fait que si a = b alors f(a) = f(b) est toujours vrai)

Oui, c'est équivalent mais je trouve que c'est une contrainte inutile.


Candide

Souane (./19) :
Candide : ici c'est un forum, tu n'es pas obligé de signer à chaque fois que tu t'exprimes, vu que ton pseudo est indiqué en haut de ton post .

OK

Souane (./19) :
Quand à ma phrase, j'ai utilisé un smiley

Oui mais smiley que je ne connaissais pas qui m'a semblé curieux vu le contexte.

Souane (./19) :
à une bonne expression écrite (qui va de paire avec un minimum de raisonnement logique)

Hum, bien que ça se rapporte à expression qui est féminin, ce serait plutôt "qui va de pair", non ?

Je me suis posé la question, je t'avouerai (Et mince ! on est dans un forum de maths ! )

En tout cas la plupart des matheux écrivent "Soient x et y (...)".
Et ils ont bien raison !

bof

Pourquoi bof? Le sujet du verbe être est au pluriel.

oui mais on peut considérer le groupe nominal étendu "x et y (...)" . Et on peut ne pas savoir que Soit est un verbe

>>> le groupe nominal étendu "x et y"

C'est à dire? Ca reste au pluriel "un chat et un chien" non?

+ comme un ensemble (au singulier)

Dans ce cas le matheux, être épris de logique pure, écrirait plutôt :
"Soit le couple (x,y)"

oui je sais, c'est ce que j'ai proposé . Mais le matheux ne connaît peut-être pas encore ce terme et cette notation parce qu'il est encore jeune et innocent