Courbes parallèles - Page 1

Salut tout le monde.

Je cherche à dessiner deux courbes parralèles à une troisième.

Au départ je créé une courbe défini par des points reliés ensemble (suite de lignes) et qui forme une boucle
Je cherche ensuite à dessiner de chaque coté de cette ligne deux autres lignes à écart constant.
Le but de cette manipulation pourrait par exemple l'édition d'un circuit (une route bouclée)

En considérant 3 points consécutifs, je pensais tracer la bissectrice de l'angle formé et y placer deux points à égal longueur de chaque coté, et recommencer pour chaque point. Mais dans l'algo, j'utilise soit des cosinus, soit des sinus, soit des tangente, et pour chaque cas je dois diviser une longeur par une autre. Et pour le cas précis ou deux points consécutifs sont soit sur le même X ou le même Y, je dois faire une division par zéro, ce qui ne plait à personne.

On peut voir pour le cas d'une épingle à cheveux, que le circuit à cet endroit sera très resséré, et pose pas mal de problèmes ...

Malgré le temps (relatif) que j'ai passé sur le problème je n'ai pas réussi à le résoudre. Est il possible de ne pas utiliser de trigo pour calculer un angle, ou tout du moins de ne pas devoir faire de division

Alors, pour débuter, je tenais à dire un truc : je suis une grosse bille en maths, en trigo et tout ce genre de merdes. Mais je pense peut-être avoir une idée :

- Trace 1 ligne (pas forcément visible au final donc), cette ligne sera fermée au final (d'ailleurs peu importe).
- Tu pars d'un point de ta ligne (x1,y1), tu prends un point de référence précédent de ta ligne (x0,y0)
- Tu imagines (tu la calcules en fait) la droite qui relie ces 2 points, puis tu traces 2 droites parralèles de chaque côté de celle-ci.
Après, je pense qu'en étant assez précis dans ta courbe de base, tu pourrais avoir un semblant de circuit.


(Je me suis tapé la honte là ? Soyez honnêtes... je vous assure, j'ai jamais été bon en maths et dans ce type de programmation)

(non non, mais en fait c'est pas le fait que les droites soient parallèles qui lui pose problème, c'est qu'il arrive pas à trouver comment calculer les coordonnées pour que la distance entre les droites soit constante ^^)

Fabien38>
ben en fait une fois que tu as les coordonnées d'un vecteur directeur de ta bissectrice, il suffit de le normaliser (i.e. le diviser par sqrt(x^2+y^2)) pour ensuite le rajouter/soustraire aux coordonnées du point du milieu... pour trouver un vecteur directeur de la bissectrice, tu peux prendre le vecteur AB, le normaliser, prendre le vecteur BC, le normaliser, prendre la somme des deux, et faire une rotation de 90° ; ça ne posera pb que si la somme est nulle, i.e. que le circuit revient exactement sur ses pas, ce qui ne devrait a priori pas arriver ^^

Pollux :
ben en fait une fois que tu as les coordonnées d'un vecteur directeur de ta bissectrice, il suffit de le normaliser (i.e. le diviser par sqrt(x^2 y^2)) pour ensuite le rajouter/soustraire aux coordonnées du point du milieu... pour trouver un vecteur directeur de la bissectrice, tu peux prendre le vecteur AB, le normaliser, prendre le vecteur BC, le normaliser, prendre la somme des deux, et faire une rotation de 90° ; ça ne posera pb que si la somme est nulle, i.e. que le circuit revient exactement sur ses pas, ce qui ne devrait a priori pas arriver ^^

C'est exactement ce que je voulais dire en plus

on n'en doute pas une seule seconde

Oui mais on peut voir que plus le virage est serré, et plus il faut que j'éloigne le point de la bissectrice:


(j'ai pas trop respecté la parralé..parralolila... le fait que les droites soient parralèles sur le schéma, mais l'idée est la ...)

il y a aussi un problème d'orientation des angles qui peut donner ce genre de figure :



Enfin voila .. si quelqu'un a une meilleure idée ...

- le problème d'orientation n'apparaît pas si tu utilises ma méthode pour calculer la bissectrice
- pour la distance :

tu veux que le point M de la route soit tel que la distance du point M à la droite AB soit fixe, et idem pour BC, i.e. que
<BM, u'> = <BM, v'> = d0 (<a,b> étant le produit scalaire de a et b)
BM est sur la bissectrice, i.e. tu peux écrire BM = k*(u'+v'), donc en injectant dans les équations ça donne k*(1+<u',v'>) = d0 donc k = d0/(1+<u',v'>), autrement dit BM = d0/(1+<u',v'>)*(u'+v')

Pollux a écrit :
BM = d0/(1+<u',v'>)*(u'+v')

Mais attention, avec u' et v' de norme 1...

( J'écrirais plutôt d0² que d0, question de typage.. )
[/post utile]

Question d'unité physique (comme les kg, les m et les s), tu veux dire ?
Non non, la vraie formule est : <BM, u'> = d0*||u'||² = d0 puisque ||u'|| = 1 (l'unité n'est pas précisée, puisque ||u'|| EST cette unité).
C'est le vecteur u' qui porte la dimension physique et donc l'unité de longueur (m, cm ou px, c'est pareil), non le scalaire d0 qui est sans dimension.

[EDIT : cross, je répondais à very]
(ben non, le reste est sans unité, donc si tu veux que ça soit homogène à une longueur c'est bien par une longueur qu'il faut multiplier...)

Huhu, tu t'es fait 0wn3d !

vu que c'est unitaire wais ça marche, je n'ai jamais dit l'inverse, mais même si y'a égalité evidente du scalaire, ça ma gène un peu d'écrire que le ps 'est' une distance.
(sinon, vous êtes bien réactifs ): d'ailleurs ça se voit bien lorsque l'on l'écrit d0.||u||² = (sqrt(d0).||u||)²

Ethaniel> oué mais en fait tu disais n'importe quoi, donc non si u' est unitaire, sa longueur est sans dimension, et c'est justement le facteur d0 qui est homogène à une longueur ^^

very
: vu que c'est unitaire wais ça marche, je n'ai jamais dit l'inverse, mais même si y'a égalité evidente du scalaire, ça ma gène un peu d'écrire que le ps 'est' une distance.

Ben nan, un produit scalaire de deux distances est un carré de distances, mais un produit scalaire d'une distance et d'un vecteur unitaire (d'une "direction", si tu préfères) reste une distance...

Pollux :
Ben nan, un produit scalaire de deux distances est un carré de distances

Je ne vois pas trop l'intérêt d'aller définir un PS sur |R. Déjà, faut être motivé/avoir de bonnes raisons pour considérer |R comme un |R- espace vectoriel ou un Q-eV – ça a déjà plus d'intérêt– voir plus exotique.
Mais même si tu le définit comme tel, sur la structure elle-même tu ne considère pas à proprement parler le PS de deux "distances" puisque de toute façon ce sont des vecteurs de ton eV. ( ou alors tu parles d'une autre structure, |R² pour nous ici, et après tu fais un ismorphsime entre ton |R en tant qu'eV sur lui-même et ton |R corps, mais ça restera définitivement un gros abus de langage de dire ça. )

Pollux :
mais un produit scalaire d'une distance et d'un vecteur

heu...soit tu m'explique comment tu définit ça, soit tu me donne le nom de ta drogue, ça a l'aire bien puissant ! (Je ne te conaiterais pas j'aurais dis "physique", mais apperement ça a l'aire d'être encore autre chose... )

Pollux :
vecteur unitaire (d'une "direction", si tu préfères)

Merci de t'inquiéter pour moi mais je sais tout de même ce qu'est un vecteur unitaire. (suffit de savoir parler français et d'être aller en première, non ?)

Pour trouver un compromis, on dira < | > = d1² = d0.1 si vous préférez.. ( c'est quand même à la fois plus beau et plus honête )

Alors là, Pollux, tu vas fâcher le physicien qui est en moi ...
Mathématiquement, en algèbre linéaire, définir un produit scalaire, c'est définir un repère du plan, c'est-à-dire une origine O et deux vecteurs directeurs normés |x> et |y> qui eux seuls définissent ce qu'est l'orthogonalité et la norme dans ce repère, puisque les seules et uniques propriétés géométriques sont : <x|x> = <y|y> = 1 et <x|y> = 0, rien de plus, rien de moins (j'utilise pour les vecteurs la notation bra-ket si chère aux physiciens quantiques ).
L'unité de longueur, c'EST sqrt(<x|x>) = sqrt(<y|y>).
Après, pour des raisons d'“intuition physique” et au sein d'un référentiel galiléen, on préfère avoir |x> et |y> tous deux de la “longueur” d'un même objet physique (par exemple, la “longueur” d'un bout de ficelle donné que l'on peut décider d'utiliser comme unité de longueur, le “schplounk” (imaginez que le “mètre” n'existe pas)) et définir un vecteur |y> orthogonal à |x> en faisant en sorte que l'“extrémité” de |y> soit “équidistant” (en utilisant un aut bout de ficelle) de l'“extrémité” de |x> et de celle de -|x>, ces trois vecteurs ayant leur origine au même point.
Mais ce n'est rien de plus qu'une convention pour saisir intuitivement plus facilement ce qui ce passe, les formules mathématiques du produit scalaire s'en fichent pas mal.
Et de toute façon, la relativité restreinte nous montre que ce qui est orthonormé dans un repère galiléen ne l'est pas forcément dans un autre repère galiléen en translation par rapport au premier, et pourtant la physique et les mathématiques sont toujours aussi exactes et vérifiées dans les deux cas.

Bon, reprenons.
Soit K la “projection orthogonale” de M sur (AB).
On note d0 = ||KM|| la distance de M à (AB) exprimée en “schplounk” (1 schplounk = sqrt(<x|x>) = sqrt(<y|y>), mais d0 est un scalaire, donc sans dimension) et |u'> = |KM>/||KM|| = |KM>/d0, vecteur unitaire de longueur 1 schplounk (tandis que |KM> est un vecteur de longueur d0 schplounk, ce qui montre bien que 1/d0 est sans dimension, sinon on aurait des schplounk² qui apparaîtraient), d'où |KM> = d0.|u'> = |d0.u'> et <u'|u'> = <x|x> = <y|y> = 1 schplounk².
|BM> = |BK> + |KM>, or <BK|KM> = 0 (sous-entendu : 0 schplounk²) par orthogonalité, donc <BM|u'> = <BK|KM>/d0 = (<BK|KM> + <KM|KM>)/d0 = <KM|KM>/d0 = <d0*.u'|d0.u'>/d0 = d0.<u'|u'> = d0 schplounk² (d0* est le conjugué de d0 au sens des nombres complexes, mais d0 étant ici un réel puisque la représentation d'une longueur physique, d0* = d0).
<BM|u'> est une longueur au carré (exprimée donc en schplounk²), et d0 un scalaire réel.
Dire qu'un produit scalaire peut selon les cas être une longueur ou une longueur au carré, ça va faire crisser les dents aussi bien aux matheux (ce que je ne suis pas) qu'aux physiciens (je que je suis, alors gare à tes ...).

Ok, avec tes conventions de physicien c'est différent : tu prends l'espace comme étant le R-ev m.R^n, i.e. l'espace des vecteurs de R^n homogène à des mètres. Du coup effectivement un vecteur "unitaire" n'est pas de longueur 1, mais de longueur 1 m ^^ (et donc, si on veut expliciter les unités, le vecteur unitaire de même sens/direction que u n'est pas tout à fait u / ||u|| mais u / (||u|| / 1 m)))

Moi je définis au contraire le vecteur unitaire associé à u comme étant véritablement u / ||u||, donc il devient sans dimension : ça paraît naturel, parce qu'un vecteur qui représente simplement une direction est fondamentalement différent d'un vecteur qui possède une longueur concrète... Du coup il devient impossible d'additionner un vecteur sans dimension et un vecteur homogène à une longueur (encore une fois, c'est naturel), et d0, au lieu d'être comme chez toi un facteur sans dimension définissant le rapport entre la longueur voulue et un vecteur unitaire, *est* la longueur voulue ^^ (ce qui est àmha plus logique)

Ethaniel :
Mathématiquement, en algèbre linéaire, définir un produit scalaire, c'est définir un repère du plan, c'est-à-dire une origine O et deux vecteurs directeurs normés |x> et |y> qui eux seuls définissent ce qu'est l'orthogonalité et la norme dans ce repère, puisque les seules et uniques propriétés géométriques sont : = = 1 et = 0, rien de plus, rien de moins

Encore un truc barbare de physiciens d'oser parler de répère/origine en algèbre linéaire. (et réciproquement..) Par rapport à un ref galiléen déjà existant (qui de toute façon n'existe pas), tu va fixer ton origine, et là tu peux parler d'algèbre linéaire une fois placé dans ton eV, ou l'origine correspondrait à un point physique donné –faudrait déjà savoir ce que c'est–. (ou alors tu palres directement d'algèbre affine...)

Ethaniel :
la physique et les mathématiques sont toujours aussi exactes et vérifiées dans les deux cas.

la physique, 'exacte' ?!

very a écrit :

Ethaniel :
la physique et les mathématiques sont toujours aussi exactes et vérifiées dans les deux cas.

la physique, 'exacte' ?!

Tu n'as qu'à remplacer « exactes » par « “vraies” » (avec les guillemets) : ce que je voulais dire, c'est qu'il n'y a pas une physique qui est vraie dans un repère et pas dans l'autre, quand bien même un des observateurs ne voit que de l'électrodynamique tandis que l'autre voit en plus de la magnétodynamique (la magnéto n'étant en fait qu'un effet relativiste dérivant de l'électro).

De toute façon, toutes ces discussions ne changent rien au fait que |BM> = d0/(1+<u'|v'>) . |u'+v'> ...

Ethaniel :
définir un vecteur |y> orthogonal à |x> en faisant en sorte que l'?extrémité? de |y> soit ?équidistant? (en utilisant un aut bout de ficelle) de l'?extrémité? de |x> et de celle de -|x>, ces trois vecteurs ayant leur origine au même point.

Je ne voudrais pas dire, mais tu as de drôles de méthodes ; déjà ça marcherait carrément mieux si tu utilisais un seul et unique bout de ficelle, et ensuite il existe un instrument appelé « compas » qui est un peu plus adapté que des bouts de ficelles pour faire ce genre d'opération

Ethaniel :
Et de toute façon, la relativité restreinte nous montre que ce qui est orthonormé dans un repère galiléen ne l'est pas forcément dans un autre repère galiléen en translation par rapport au premier, et pourtant la physique et les mathématiques sont toujours aussi exactes et vérifiées dans les deux cas.

, mais quel est le rapport avec la choucroute ??? j'ai l'impression que ton problème c'est souvent que tu mélanges un peu tout ^^. Là on parlait juste de géométrie dans le plan (euclidien), il n'y a pas de référentiel, galiléen ou non, ni de relativité, vu qu'il n'y a même pas de temps (ni donc de mouvement) ^^.

Sinon en fait very n'a pas tort, un espace vectoriel n'a pas d'origine, il a un vecteur nul, c'est tout ; tu confonds ton plan affine et l'espace vectoriel sous-jacent. Et ce que dit Pollux me semble cohérent avec tout ce que j'ai pu voir en physique en prépa, il me semblait qu'on utilisait des vecteurs unitaires sans dimension... enfin en mécanique du moins.
Genre l'expression du vecteur vitesse du point mobile M de coordonnées polaires (rho, thêta), c'est pas : d(rho)/dt.|u> + rho.d(thêta)/dt.|v>
avec |u> le vecteur directeur de la demi-droite [OM) et |v> le vecteur normal tel que (|u>, |v>) = pi/2 ?
parce que là, par exemple, si tes vecteurs unitaires étaient homogènes à des longueurs cette expression ne te donnerait pas une vitesse...

et sinon je ne comprends pas bien ce qui te choque dans le fait qu'un produit scalaire puisse être homogène à un peu n'importe quoi, c'est juste que ça dépend à quoi les vecteurs eux-mêmes sont homogènes ? il me semble me souvenir qu'en électromagnétisme on s'amuse bien à faire des produits de vecteurs homogènes à tout un tas de trucs différents ^^ (genre le produit vectoriel d'une vitesse et d'un champ magnétique, pour obtenir une force, non ? enfin il doit falloir multiplier par la charge aussi)
alors certes c'est un produit vectoriel et pas scalaire, mais bon, il doit bien y avoir des exemples où seule la composante colinéaire de quelque chose entre en jeu dans l'équation, c'est juste que je ne les ai pas en tête...

very ./16 > je pense que tu as mal compris le post de Pollux, il disait juste que le produit scalaire de deux [vecteurs homogènes à] des distances était homogène à une distance au carré, mais que le produit scalaire d'un [vecteur homogène à] une distance et d'un vecteur unitaire était homogène à une distance (il n'a pas précisé qu'il ne parlait que de vecteurs, mais c'était sous-entendu dans le fait qu'il parle de produit scalaire...)

oui, dès que tu as des gradients et tout ça tu as des vecteurs homogènes à des V/m par exemple ^^ (et le produit scalaire avec un vecteur homogène à une longueur donne bien des V, pas des m^2)

Sally :
very ./16 > je pense que tu as mal compris le post de Pollux, il disait juste que le produit scalaire de deux [vecteurs homogènes à] des distances était homogène à une distance au carré, mais que le produit scalaire d'un [vecteur homogène à] une distance et d'un vecteur unitaire était homogène à une distance (il n'a pas précisé qu'il ne parlait que de vecteurs, mais c'était sous-entendu dans le fait qu'il parle de produit scalaire...)

J'avais quand même compris ce qu'il voulait dire, je jouais juste un peu au con.
mais perso, je reste un peu comme Ethaniel: dire que le PS de deux vecteur donne, selon le bon vouloir de la norme d'un des deux vecteurs, soit une distance, soit une distance au carré, ça me gène un peu. Biensur, lorsque l'on projete sur une droite vectorielle définie par vecteur unitaire, on a de suite l'égalité de la nouvelle distance grâce au PS, mais je vois plus ça comme un cas particulier, qui vient du vecteur unitaire, mais qui ne reste qu'un cas particulier. Un petit parallèle:

-Imaginez que l'on calcul, grâce à une fonction bilnéaire phi quivabien, la surface du rectangle définit par les cotés x et y.( ouais je sais c'est trop dure ) ça vous donnera toujours une aire, une surface, une distance²... Mais si vous prenez un coté qui vaut 1, l'autre y, alors votre surface vaut phi(1,y)=y, vous aller me sortir que ça tombe tout pile sur une distance, et donc que c'est une distance....je vous répondrais que c'est simplement l'aire d'un rectangle des cotés (y,1), et donc on a bien égalité du scalaire (y = y.1 ), mais fondamentalement, phi(x,y) reste une aire.

Après, votre hsitoire de distinguer vecteur 'homogène' à une distance et vecteur unitaire, ça revient à distinguer l'unité du reste des scalaires, je vois pas bien l'utilitée..

Z'êtes un peu lourds les intellos

./23 > mais c'est différent... physiquement, les côtés d'un rectangle sont homogènes à des longueurs, un rectangle ne peut pas être de côté 1. Sauf si tu ne parles pas d'un rectangle dans l'espace mais d'un rectangle sur un certain graphe représentant je ne sais quoi ; mais un rectangle dont un des côtés est sans dimension ne peut pas êtrre un rectangle physique réel.
Alors qu'en physique, un vecteur n'est de toute façon jamais un vecteur réel dans l'espace, ça n'existe pas concrètement un vecteur, c'est juste un outil pour représenter quelque chose ; ça peut êtrre un vecteur force, un vecteur vitesse, un vecteur accélération, champ magnétique, champ électrique etc., et pourquoi pas un vecteur unitaire... donc ça peut avoir la dimension qu'on veut.

[auto-censure]

Sally :
... un rectangle ne peut pas être de côté 1...

heu, tu m'explique pourquoi ? Physiquement, on peut tout autant dire qu'un rectangle de cotés 1m et 7m existe que n'importe quel autre rectangle réel, je ne vois pas trop le problème.. ( voir même plus façilement que n'importe quel autre, puisque on a des cotés non seulement rationels mais en plus entiers.. a moins que ça soit justement ça qui te pose problème ?)

Puis y'a pas besoin de faire de la physique, je parlais simplement d'un object mathématique, pour faire la parralèle avec notre PS, lui aussi object mathématique.

Je ne parlais pas d'un rectangle de côté 1 m, mais d'un rectangle de côté 1 sans dimension, le nombre entier 1, pas une longueur arbitraire définie comme étalon . Sinon j'aurais écrit 1 m... et ton exemple ne marche pas avec un rectangle de côté 1 m, parce qu'on n'a pas y = y * 1 m. (Indice : si on avait cette égalité, on aurait aussi y = y * 100 cm, ce qui te choque peut-êtrre davantage ^^)

et euh « y a pas besoin de faire de la physique » sauf que le débat porte justement sur les dimensions physiques non ? c'est quoi un mètre, en maths ?
en maths, on peut certes étudier les équations aux dimensions hors de tout contexte physique, mais bon on le fait rarement, parce que ces histoires de dimensions et d'unités (et de mesure) sont quand même des problèmes venant de la physique...

Sally :
Je ne parlais pas d'un rectangle de côté 1 m, mais d'un rectangle de côté 1 sans dimension, le nombre entier 1, pas une longueur arbitraire définie comme étalon . Sinon j'aurais écrit 1 m... et ton exemple ne marche pas avec un rectangle de côté 1 m, parce qu'on n'a pas y = y * 1 m. (Indice : si on avait cette égalité, on aurait aussi y = y * 100 cm, ce qui te choque peut-êtrre davantage ^^)

Mais ça marche exactement de la même façon que notre PS plus haut, c'est-à-dire que l'on a 7 = 1x7 (égalité du scalaire) mais 7m != 1m x 7m... = 7m² (inégalité de typage)
C'est à peu près ce que je dis depuis le début.

Sally :
et euh « y a pas besoin de faire de la physique » sauf que le débat porte justement sur les dimensions physiques non ? c'est quoi un mètre, en maths ?

bauf non osef de la physique, on peut faire de la thorie des types sans physique, je vois pas trop le problème.

Sally :
en maths, on peut certes étudier les équations aux dimensions hors de tout contexte physique, mais bon on le fait rarement, parce que ces histoires de dimensions et d'unités (et de mesure) sont quand même des problèmes venant de la physique...

bauf on utilise bien des types en info, qui sont des maths. Si tu veux très fortement typer, tu peux très bien distinguer le type distance du type surface, et tu arrivera aux mêmes considérations, même si en faite les deux sont des simples scalaires.

Effectivement si tu t'arréte aux types correspondant à la nature mathématique de l'object, tu décrit une distance comme un scalaire, une surface comme un scalaire, ton PS étant une forme (bilinéaire) tu obtient bien un scalaire, et tu peux effectivement écricre des égalitées dans tous les sens puisque ce sont tous des scalaires sans plus de distinction.(bien que l'on ait déjà distinguer les scalaires des vecteurs, mais bon c'est bien le minimum vitale..)
Mais rien qu'a énoncer cet exemple, on voit bien comme c'est à la fois domage et génant de s'arréter là.