Il y a des foultitudes de formules et d'algorithmes.
1) Avant les maths un peu moderne, on utilisait des méthodes géométriques, à base de polynômes incrits dans des cercles, par exemple (comme dit vince). C'est comme ça qu'Archimède a montré que 3 < Pi < 22/7. C'est comme ça aussi qu'un allemand du moyen âge, en passant toute sa vie à calculer, a trouvé 35 chiffres décimaux (ce qui a été l'apogée de la méthode).
2) Ensuite on a trouvé des tas de formules de séries, dans le style de celle de Thibaut (bien que je ne la connaisse pas... Où est ce que tu mets les + et les - ?)
Il y en a beaucoup qui sont complètement inutilisables, parce qu'elles convergent trop lentement. Celle de Thibaut, par exemple, ça m'étonnerait qu'elle puisse servir à quelque chose
Il y en a des très jolies comme 1 + 1/2² + 1/3² + 1/4² + 1/5² + ... = Pi²/6 mais inutiles.
Newton en avait trouvé une assez rapide, et il l'avait utilisée pour calculer pas mal de chiffres à la main.
3) Mais au final, les séries les plus pratiques sont celles des fonctions trigo (comme dit Miles), et notamment Arctangente.
Arctan(x) = somme( (-1)^n*x^(2n+1)/(2n+1) )
Cette série converge d'autant plus vite que x est petit. Le but du jeu est donc de trouver une combinaison de la forme
Pi = a*arctan(x1) + b*arctan(x2) + .....
où x1, x2 ... sont les plus petits possibles.
On peut prendre par exemple Pi = 4*Arctan(1) mais ce n'est pas bon du tout!
La formule reine, qui a été utilisée pendant très longtemps, est la formule de Machin :
Pi = 16Arctan(1/5) - 4Arctan(1/239)
C'est avec cette formule que Shank a calculé à la main 707 décimales (les fameuses décimales fausses du palais de la découverte, parce qu'il a fait une erreur! Mais elles ont été corrigée...)
4) Ensuite, il a fallu attendre les ordinateurs pour continuer. On a trouvé des séries qui convergent encore plus vite, à l'aide desquelles on a calculé 1 million de chiffres. Mais toutes ces séries ont une convergence linéaire : avec N termes de la série, on a x*N décimales.
5) On a trouvé des algorithmes à convergence plus rapide. Il y en a deux, notamment, qui sont très utiles : l'un qui permet de *doubler* le nombre de chiffres justes à chaque étape, l'autre qui permet de le *quadrupler* (mais qui est plus compliqué, donc plus lent par d'autres aspects). Ils ne sont pas très compliqués à écrire (quelques lignes), mais bon, je ne peux pas m'en souvenir...
Le record de calcul est détenu depuis de nombreuses années par le Pr Kanada, de l'Université de Tokyo. Il me semble qu'il en est à environ 200 milliards de chiffres...
6) Sinon, on a découvert ces dernières années de nouvelles formules surprenantes : elles permettent de calculer UN chiffre du nombre Pi, sans avoir à calculer tous les chiffres précédents... c'est comme ça qu'on connait des chiffres très lointaines de Pi.
Et puis même, il y a un pb de vitesse : elle est équivalente à faire la somme des 1/n^2... (pour avoir 100 décimales il faudrait faire 10^50 itérations, enfin j'exagère un peu parce qu'il y a des accélérations de convergence possible, mais c'est l'idée).
)
Ca ressemble à quoi?
). Mais pour une base quelconque ça doit être plus chaud... (faire apparaître un terme en 1/19^i, c'est pas forcément évident si on veut que le reste soit simple 
Moumou